Znaleźć macierz odwzorowania \(\displaystyle{ g\circ f^{-1}}\) w bazach kanonicznych, jeśli:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}-1&-1&1\\-1&1&0\\2&-1&-1\end{bmatrix}}\)
jest macierzą endomorfizmu \(\displaystyle{ f:\RR[x]_2 \rightarrow \RR[x]_2}\) w bazie \(\displaystyle{ B_1 = (x^2+x-1,x-1,-x^2+x)}\).
\(\displaystyle{ B= \begin{bmatrix}-1&0&1\\2&1&-1\end{bmatrix}}\)
Jest macierzą odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ g:\RR[x]_2 \rightarrow \RR[x]_1}\) w bazach kanonicznych, odp. \(\displaystyle{ (x^2,x,1), (x,1)}\).
Najpierw, zamienię bazy w odwzorowaniu \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ M_f(B_k,B_k) = P_{B_k \rightarrow B_1} \cdot M_f(B_1,B_1) \cdot P_{B_1 \rightarrow B_k} =}\)
\(\displaystyle{ =\begin{bmatrix}1&0&-1\\1&1&1\\-1&-1&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-1&-1&1\\-1&1&0\\2&-1&-1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&1&1\\-1&-1&-2\\0&1&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -5&-3&-5\\-1&-1&-2\\4&3&5\end{bmatrix}}\)
Teraz odwrócę otrzymaną macierz, aby dostać macierz \(\displaystyle{ f^{-1}}\).
\(\displaystyle{ M_{f^{-1}}(B_k, B_k) =\begin{bmatrix}-1&0&-1\\3&5&5\\-1&-3&-2\end{bmatrix}}\)
Ostatecznie wystarczy wymnożyć macierze i otrzymuję:
\(\displaystyle{ M_{g\circ f^{-1}} = M_g \cdot M_{f^{-1}} = \begin{bmatrix}-1&0&1\\2&1&-1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-1&0&-1\\3&5&5\\-1&-3&-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&-3&-1\\2&8&5\end{bmatrix}}\).
Proszę o sprawdzenie rozumowania.