mam pytanie odnośnie diagonalizacji macierzy, najłatwiej będzie mi to wytłumaczyć na przykładzie:
Dana jest macierz \(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{ccc}
6 & -3 & 2\\
1 & 2 & 2 \\
1 & -3 & 7\\
\end{array}
\right]}\)
Mam za zadanie przedstawić ją w postaci Jordana. W tym celu szukam wartości własnych i okazuje się, że ma on jedną wartość własną równą 5 o krotności algebraicznej 3. Następnie szukam wektorów własnych. macierz \(\displaystyle{ A- \lambda I= \left[
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 2 \\
1 & -3 & 2 \\
1 & -3 & 2 \\
\end{array}
\right]}\)
W tym miejscu pierwsze moje pytanie. Widać, że rząd macierzy jest równy 1. Czy w tym momencie już wiemy, ile będzie liniowo niezależnych wektorów własnych? Znamy wymiar przekształcenia? W jaki sposób to policzyć?
Czy poprawne jest:
\(\displaystyle{ x-3y+2z=0 \Leftrightarrow x=3y-2z \\ v _{1}= \left[
\begin{array}{cc}
3\alpha-2\beta\\
\alpha \\
\beta
\end{array}
\right]}\) Zatem wektor własny to np \(\displaystyle{ v _{1}= \left[
\begin{array}{cc}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]}\) Wobec tego szukam wektorów serii? Ile mam ich znaleźć? Klatek Jordana jest zawsze tyle, ile liniowo niezależnych wektorów własnych, czy tak? Jak poznać ile ich jest? Intuicja podpowiada mi, że w tym przypadku będą 2 klatki, ale nie potrafie uzasadnić tego. Proszę o pomoc!-- 11 cze 2017, o 14:36 --
A może istnieją 3 linowo niezależne wektory własne postaci \(\displaystyle{ v _{1}= \left[K0za pisze:Cześć,
mam pytanie odnośnie diagonalizacji macierzy, najłatwiej będzie mi to wytłumaczyć na przykładzie:
Dana jest macierz \(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{ccc}
6 & -3 & 2\\
1 & 2 & 2 \\
1 & -3 & 7\\
\end{array}
\right]}\)
Mam za zadanie przedstawić ją w postaci Jordana. W tym celu szukam wartości własnych i okazuje się, że ma on jedną wartość własną równą 5 o krotności algebraicznej 3. Następnie szukam wektorów własnych. macierz \(\displaystyle{ A- \lambda I= \left[
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 2 \\
1 & -3 & 2 \\
1 & -3 & 2 \\
\end{array}
\right]}\)
W tym miejscu pierwsze moje pytanie. Widać, że rząd macierzy jest równy 1. Czy w tym momencie już wiemy, ile będzie liniowo niezależnych wektorów własnych? Znamy wymiar przekształcenia? W jaki sposób to policzyć?
Czy poprawne jest:
\(\displaystyle{ x-3y+2z=0 \Leftrightarrow x=3y-2z \\ v _{1}= \left[
\begin{array}{cc}
3\alpha-2\beta\\
\alpha \\
\beta
\end{array}
\right]}\) Zatem wektor własny to np \(\displaystyle{ v _{1}= \left[
\begin{array}{cc}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]}\) Wobec tego szukam wektorów serii? Ile mam ich znaleźć? Klatek Jordana jest zawsze tyle, ile liniowo niezależnych wektorów własnych, czy tak? Jak poznać ile ich jest? Intuicja podpowiada mi, że w tym przypadku będą 2 klatki, ale nie potrafie uzasadnić tego. Proszę o pomoc!
\begin{array}{cc}
3\\
1\\
0
\end{array}
\right]}\)
oraz
\(\displaystyle{ v _{1}= \left[
\begin{array}{cc}
-2\\
0\\
1
\end{array}
\right]}\)
I krotność geometryczna jest równa 3, zatem macierz jordana jest diagonalna?