Operator Liniowy

[rat666]

Operator liniowy w \(\displaystyle{ R^{3}}\) spełnia warunki
\(\displaystyle{ L(1,0,0)=(1,0,0),L(1,1,0)=(-1,-1,0),L(1,1,1)=(0,0,0)}\)
(a) znajdź \(\displaystyle{ L(x,y,z)}\) tzn. wzór tego przekształcenia
(b)\(\displaystyle{ L^{100}(3,6,9)}\)

Dzięki Wielkie za pomoc

[yorgin]

a) oblicz \(\displaystyle{ L(0,1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ L(0,0,1)}\) na podstawie danych (łatwe). Znając wtedy wartości na wektorach bazowych łatwo dostać wzór ogólny

\(\displaystyle{ L(x,y,z)=xL(1,0,0)+yL(0,1,0)+zL(0,0,1)}\).

b) Standardowe podejście do tego zadania to rozkład Jordana. Tutaj natomiast można łatwej, gdyż

\(\displaystyle{ L^3=L}\)

co bardzo łatwo pokazać przez elementarne mnożenie macierzy.

W szczególności \(\displaystyle{ L^{100}=L^2}\).

[rat666]

Podpunkt a) zrobiłem i zrozumiałem , natomiast nie rozumiem nadal podpunktu b) jak by to wyglądało ? trzeba to zdiagonalizować i wymnożyć przez wskazany wektor ?

[yorgin]

W przypadku rozkładu Jordana (a priori nie wiadomo, czy da się zdiagonalizować) nie mnoży się macierzy Jordana przez wektor, tylko rozkład przez wektor. W szczególności

\(\displaystyle{ A^{100}v=PJ^{100}P^{-1}v}\)