Wyznacz bazę oraz wymiar podprzestrzeni.

[Aisekai]

\(\displaystyle{ W = \text{Sol}(x- y +z = 0)}\), \(\displaystyle{ U = \text{lin}(\left[ 1,-1,-2\right] \left[4,0,-3 \right] \left[ 6,-2,-7\right])}\)
będą podprzestrzeniami przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\). Wyznacz bazę oraz wymiar podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ U, W, U + W}\) oraz \(\displaystyle{ U \cap W}\)


Najpierw wrzuciłem wszystko z \(\displaystyle{ U}\) do macierzy i bazę wyznaczyłem jako dwa pierwsze wektory. Wymiar to 2 (tak mi się wydaje). Jak wyznaczyć bazę W, oraz dwie pozostałe bazy i wymiar? Zgłupiałem jak zobaczyłem \(\displaystyle{ W = \text{Sol}(x - y +z = 0)}\). Potrzebuję przynajmniej naprowadzenia na to, jak to zrobić (w ostateczności odpowiedzi najlepiej z wytłumaczeniem). Jak nadal nie będę umiał tego zrobić, nawet po naprowadzeniach to będę musiał prosić Was o rozwiązanie.

PS: Jakim oznaczeniem zapisać bazę? Bo z tego co kojarzę to np wymiar to wystarczy dim, a baza? Jak zapisać wcześniej wspomnianą bazę zgodnie z oznaczeniami?

Edit: w równaniach jest x-y nie xy tylko Latex nie akceptuje "-" chyba

[Kordyt]

Obawiam się kolego, że zbiór \(\displaystyle{ W}\) nie jest przestrzenią liniową.
Pewnie masz źle przepisane.

[Aisekai]

@Kordyt Nawet jakby tam było \(\displaystyle{ X-Y+Z=0}\)? Nie pisze tego w Latexie bo tam są problemy z '-'.
Przepisane poza tym jest ok, brakuje tylko słówka na początku "Niech" i odwrócona kolejność przepisywania \(\displaystyle{ W}\) z \(\displaystyle{ U}\). Reszta jest przepisana tak jak powinna.

[a4karo]

Nie ma problemów z \(\displaystyle{ -}\), tyle, że trzeba to napisać, a nie kopiować z pdf.

Łatwo widać, że \(\displaystyle{ W\subset U}\), (pierwszy wektor z \(\displaystyle{ U}\) leżey w \(\displaystyle{ W}\)) a \(\displaystyle{ U}\) jest dwuwymiarowa. (drugi + 2*pierwszy wektor=trzeci)

[Aisekai]

Czyli jak już wyznaczylem bazę to czy mogę wektory potraktować jak zbiory i przy wyznaczaniu sumy i iloczynu wyznaczyć je na zasadzie sum i iloczynow zbiorów?

[a4karo]

Przecież suma przestrzeni liniowych to nie to samo co suma mnogościowa.

A stwierdzenie : wektory jak zbiory chyba na mało sensu w tym kontekście.