Witam,
Niech dane będą przestrzenie liniowe nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ V=lin\left(\begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 4\\ 0 \\ -3 \end{bmatrix} \right)}\)
I
\(\displaystyle{ U=Sol(x-y+z=0)}\)
Wyznaczam \(\displaystyle{ V\cap U}\)
Niech \(\displaystyle{ v\in V\cap U}\), wówczas \(\displaystyle{ v\in V}\)
\(\displaystyle{ v=\alpha \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{bmatrix}+\beta \begin{bmatrix}4 \\ 0 \\ -3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha+4\beta \\ -\alpha \\ -2\alpha-3\beta\end{bmatrix}}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha,\beta\in \mathbb{R}}\)
Ale \(\displaystyle{ v\in U}\), a więc
\(\displaystyle{ \alpha+4\beta-(-\alpha)+(-2\alpha-3\beta)=0}\)
A stąd
\(\displaystyle{ \beta = 0}\)
A \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dowolne.
Ostatecznie więc:
\(\displaystyle{ v=\begin{bmatrix}\alpha\\ -\alpha \\ -2\alpha\end{bmatrix}=\alpha \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{bmatrix}}\)
I
\(\displaystyle{ U\cap V = lin\left( \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{bmatrix} \right)}\)-- 9 cze 2017, o 18:54 --Chodzi mi o to, żeby ktoś życzliwy mógł sprawdzić moje rozwiązanie i napisać że wg niego jest ok lub jest nieok.
