W zależności od a sprawdź, czy układ ma rozwiązanie

[HelloWorld]

Używając twierdzenia Kroneckera-Capelliego sprawdź, w zależności od wartości parametru
rzeczywistego a , czy układ ma rozwiązania, a jeśli tak, to od ilu parametrów te rozwiązania zależą. Podaj wartości zmiennych

\(\displaystyle{ ax-2y+az=-2}\)
\(\displaystyle{ x+y+z=1}\)
\(\displaystyle{ 3x-ay-az=-2a}\)

rząd układu jest równy 3 dla \(\displaystyle{ a \neq -1}\)
Układ ma rozwiązania,
rozwiązania zależą od 1-go parametru, \(\displaystyle{ t}\).

Zmienne:
\(\displaystyle{ t \in R}\)
\(\displaystyle{ y=-t}\)
\(\displaystyle{ z=- \frac{t}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{7}{2}t}\)

Czy jest to poprawnie rozwiązane zadanie?

[Dilectus]

Coś chyba pokręciłeś. Czy tu są dwa parametry \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ t}\) ? w układzie jest tylko parametr \(\displaystyle{ a}\).

[kerajs]

Przypuszczam że taką formę rozwiązania układu nieoznaczonego narzuca wykładowca.
Takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-t\\ z=- \frac{t}{2}\\ x=- \frac{7}{2}t\end{cases} \ \ \wedge \ \ t \in R}\)
to to samo co:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{7y}{2}\\ z= \frac{y}{2}\end{cases}}\)

Inną sprawą jest, czy pierwotny układ został napisany poprawnie, bo dla \(\displaystyle{ a=-1}\) wyznacznik trzeciego stopnia z macierzy głównej nie jest zerowy.

\(\displaystyle{ ax-2y+az=-2}\)
\(\displaystyle{ x+y+z=1}\)
\(\displaystyle{ 3x-ay-az=-2a}\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a&-2&a\\1&1&1\\3&-a&-a\end{vmatrix}=-a^2-6-a^2-3a-2a+a^2=-a^2-5a-6=-(a+2)(a+3)}\)
Dla \(\displaystyle{ a \in \RR \setminus \left\{ -3,-2\right\}}\) układ jest oznaczony.
Dla \(\displaystyle{ a =-2}\) układ jest nieoznaczony.
Dla \(\displaystyle{ a = -3}\) układ jest sprzeczny.