Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: 0Mniac »

Wiadomo, że \(\displaystyle{ B=\left\{ v_{1} , v_{2} , v_{3} \right\}}\) jest bazą ortonormalną w przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ (V,\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle )}\). Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ B^{'}}\) est bazą ortogonalną, ortonormalną w tej przestrzeni, jeśli:

\(\displaystyle{ B^{'}=\left\{ u_{1}= v_{1} -v_{2} +3v_{3},u_{2}=10v_{1}+v_{2}-3v_{3},u_{3}=6v_{2}+2v_{3}\right\}}\)

Czy w tym zadaniu chodzi o sprawdzenie warunku:
\(\displaystyle{ \left| \left| \ x_{1}+... x_{n} \right|\right| ^{2}= \left| \left| x_{1} \right| \right| ^{2} + ... + \left| \left| x_{1} \right| \right| ^{2}}\)

Czyli najpierw dodaję te wektory i wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ 11v_{1}+6v_{2}+2v_{3}}\) następnie liczę iloczyn skalarny, czyli w tym wypadku mnożę wartości przy wektorach? Coś na zasadzie:

\(\displaystyle{ 121v_{1}+36v_{2}+4v_{3}}\)

Następnie robię to samo z pojedynczymi wektorami i sprawdzam czy jest to samo? Bo jak zrobię to z pojedynczymi to wychodzi:

\(\displaystyle{ 100v_{1}+36v_{2}+4v_{3}}\)

Czyli baza nie jest ortogonalna-> nie jest ortonormalna?
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: jutrvy »

Baza ortogonalna to baza złożona z wektorów, które parami prostopadłych, baza ortonormalna to baza ortogonalna taka, że każdy wektor z tej bazy ma długość równą jeden.
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: 0Mniac »

Znam warunki, ale nie wiem czy dobrze wykonuję działania na wektorach. Zazwyczaj mam podane konkretne wartości, a na wektorach typu \(\displaystyle{ \vec{v}}\), a nie \(\displaystyle{ (x,y,z,t)}\) zdarza mi się gubić.
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: jutrvy »

Jak się sprawdza ortogonalność wektorów? Policz ich iloczyn skalarny.
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: 0Mniac »

Okej, ale iloczyn skalarny liczę albo poprzez wymnożenie odpowiadających sobie współrzędnych wektorów (których nie mam), albo mnożąc długości oraz kąt między wektorami (czego też nie mam). Tak jak wspominałem- ni cholery nie potrafię zrobić iloczynu skalarnego z tego.
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: jutrvy »

No nie, chodzi o to, że:

\(\displaystyle{ \langle v_1 - v_2 + 3v_3, 10v_1 + v_2 - 3v_3 \rangle =}\)?

Hint: iloczyn skalarny jest liniowy na każdej współrzędnej.
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: 0Mniac »

jutrvy pisze:No nie, chodzi o to, że:

\(\displaystyle{ \langle v_1 - v_2 + 3v_3, 10v_1 + v_2 - 3v_3 \rangle =}\)?

Hint: iloczyn skalarny jest liniowy na każdej współrzędnej.
\(\displaystyle{ \langle v_1 - v_2 + 3v_3, 10v_1 + v_2 - 3v_3 \rangle =\left\langle 10v_1 - v_2 - 9v_3\right\rangle}\)?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: a4karo »

A co to jest \(\displaystyle{ \langle a\rangle}\)?
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: 0Mniac »

Faktycznie, niepotrzebne te nawiasy:

\(\displaystyle{ 10v_1 - v_2 - 9v_3}\)
Kaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: Kaf »

Iloczyn skalarny jest liczbą...
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: 0Mniac »

Czuję się jak idiota, ale ni cholery nie potrafię wyciągnąć wniosków z Waszych podpowiedzi. Prosiłbym o wynik powyższego iloczynu, żebym mógł sam to przeanalizować.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: a4karo »

Po prostu wymnoz te sumy przez siebie tak jak liczby, pamiętając ile są równe iloczyny między wektora mi bazowymi
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Czy baza jest ortogonalna, ortonormalna?

Post autor: jutrvy »

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \langle a+b, c\rangle = \langle a, c\rangle + \langle b, c\rangle}\) oraz z tego, że dla wektorów \(\displaystyle{ a, b}\) i skalara \(\displaystyle{ s}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \langle s\cdot a, b\rangle = s\cdot\langle a,b\rangle}\).

Na drugich współrzędnych tak samo.

Wiesz jeszcze, że \(\displaystyle{ \langle v_i, v_j\rangle = 0}\) gdy \(\displaystyle{ i\neq j}\) oraz, że

\(\displaystyle{ \langle v_i, v_j\rangle = 1}\), gdy \(\displaystyle{ i=j}\), bo baza \(\displaystyle{ B}\) jest bazą ortonormalną. Czy uzbrojony w te wskazówki potrafisz przeprowadzić rachunki?
ODPOWIEDZ