Macierz Operatora Liniowego/ Rzut Ortogonalny

[rat666]

Witam, ostatnio na kolokwium miałem 3 zadania z, którymi nie jestem sobie w stanie pomóc, ni jak mi to wszystko nie wychodzi. Czy może ktoś to jasno rozwiązać bym zrozumiał oba zadania ? Na poprawce najpewniej pojawi się to samo :/ a ja nie wiem jak się a to zabrać. Im szybsza pomoc tym lepiej

1. Napisz macierz operatora liniowego przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) , w bazie standardowej, mającego wektory własne \(\displaystyle{ (3,2)}\) i \(\displaystyle{ (2,1)}\) dla wartości własnych odpowiednio \(\displaystyle{ -1,1}\). Następnie podaj wzór tego przekształcenia.
1.a podpunkt do tego zadania : Jak wyżej - dla \(\displaystyle{ W_{2}=lin\{(1,4)\} , W_{1}=lin\{(1,3)\}}\)

2. Operator liniowy przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) ma wartość własną \(\displaystyle{ -1}\) z wektorem własnym \(\displaystyle{ (0,2,-1)}\) oraz wartości własną \(\displaystyle{ 0}\) z wektorami własnymi \(\displaystyle{ (1,0,0),(1,-1,1)}\). Znajdź macierz tego operatora w bazie standardowej i napisz jego wzór.
2.a Jak wyżej-dla \(\displaystyle{ W_{1} =lin\{(1,-2,2)\}, W_{0} =lin\{(0,1,0),(1,-1,1)\}}\).

3. W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) ze standardowym iloczynem skalarnym wyznacz rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ (2,0,1)}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ lin\{(1,2,0),(2,3,1)\}}\).

[yorgin]

W zadaniach 1 i 2 masz do wykorzystania wzór

\(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\),

gdzie \(\displaystyle{ J}\) oraz \(\displaystyle{ P}\) są łatwe do zbudowania na podstawie danych w treściach zadań.

Zadanie 3: podobny temat tutaj: 279976.htm

[rat666]

W zadaniach 1 i 2 masz do wykorzystania wzór

\(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\),

gdzie \(\displaystyle{ J}\) oraz \(\displaystyle{ P}\) są łatwe do zbudowania na podstawie danych w treściach zadań.

Zadanie 3: podobny temat tutaj: 279976.htm

A czy mógłbyś dla przykładu rozwiązać zadanie 1 podpunkt 1 ? jak zobacze dokładnie jak to działa to sobie poradzę, i dzięki już rozumiem to 3

[yorgin]

W zadaniu 1 macierz Jordana tworzy się z wartości własnych, umieszczając je w dowolnej kolejności, na przykład

\(\displaystyle{ J=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}}\).

Zgdonie z kolejnością wypisania wartości własnych tworzy się następnie macierz przejścia \(\displaystyle{ P}\) złozoną z wektorów własnych, ułożonych kolumnowo:

\(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}}\)

Szukana macierz operatora \(\displaystyle{ A}\) to teraz iloczyn

\(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\).

Brakujące rachunki pozostawiam do samodzielnego wykonania.

Uwaga do zadania 2, gdzie pojawiają się dwa wektory własne odpowiadające jednej wartości własnej. Tutaj w macierzy \(\displaystyle{ J}\) identyczne wartości własne, aby nie budzić kontrowersji, warto wpisać sąsiadująco. Wtedy wektory własne również będą sąsiadujące. Nie będzie jedynki nad przekątną, gdyż wiemy, że są dwa wektory własne dla dwukrotnej wartości własnej.

[rat666]

Można prosić o dokładne rozwiązanie zadanie nr 3 ?

[yorgin]

Dokładnie wygląda to tak:

1. Znajdujesz bazę ortonormalną \(\displaystyle{ W=\mbox{lin}\{(1,2,0),(2,3,1)\}}\). Niech to będą wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2}\).

2. Dany wektor \(\displaystyle{ v= (2,0,1)}\) rzutujesz zgodnie ze wzorem linku, to jest rzut jest równy

\(\displaystyle{ P_W(v)=\langle v,v_1\rangle v_1+\langle v,v_2\rangle v_2}\)

Reszta to rachunki.