Zbadać wzajemne położenie płaszczyzn.

[tangerine11]

\(\displaystyle{ \pi _{1}: 6x+2y-z-9=0 \\
\pi _{2}: 3x+2y+2z-12=0}\)

Zadaję sobie pytanie czy istnieje prosta należąca do \(\displaystyle{ \pi _{1}}\) i \(\displaystyle{ \pi _{2}}\), niestety średnio wiem jaki tu układ równań rozpisać żeby to rozgryźć.

[szw1710]

Rząd macierzy głównej tego układu jest maksymalny, więc układ jest niesprzeczny, bo i macierz uzupełniona musi wtedy mieć ten sam rząd. Mało tego - widać, że płaszczyzny nie są równoległe (po wektorach prostopadłych to widać). Dlatego ich częścią wspólną jest prosta. Zapisz rozwiązanie układu w postaci parametrycznej, a otrzymasz jej równanie. Można z niego będzie wyciągnąć wektor równoległy do tej prostej i wszystkie inne jej własności.

[tangerine11]

Rząd maksymalny - wnioskujemy stąd, że wektory \(\displaystyle{ [6,2-1]}\)i \(\displaystyle{ [3,2,2]}\) są liniowo niezależne? Czy dlatego że po sprowadzeniu do postaci schodkowej widać, że potrzebny będzie jeden parametr?

Gdzie widać od razu, że płaszczyzny nie są równoległe?

Po rozwiązaniu układu rzeczywiście elegancko wychodzi równanie prostej, gdyby pojawiła się sprzeczność to byłyby równoległe, istnieje jeszcze trzecia możliwość? Chyba w przypadku dwóch płaszczyzn nie...

O ile nie pomyliłam się w rachunkach to mamy \(\displaystyle{ l}\):

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=t-1 \\y= -\frac{5}{2}t+ \frac{7}{2} \\ z=t \end{array}}\)

[szw1710]

Rząd maksymalny - wnioskujemy stąd, że wektory [6,2-1]i [3,2,2] są liniowo niezależne?

Tak.

To, że mamy w rozwiązaniu jeden parametr, wynika z różnicy pomiędzy liczbą niewiadomych a rzędem macierzy.

Gdzie widać od razu, że płaszczyzny nie są równoległe?

Bo te wektory są prostopadłe do obu płaszczyzn, a z liniowej niezależności nie są równoległe. Liniowa niezależność dwóch wektorów to właśnie oznacza.

[tangerine11]

Ok, wszystko jest dla mnie jasne. Dziękuję za pomoc