Wartość własna i wektor własny.
Wartość własna i wektor własny.
Witam. Znajdzie się ktoś kto wytłumaczy mi jak postępować w przypadku takiego zadania:
Znaleźć wektory i wartości własne przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ L: \RR^3 \rightarrow \RR^3}\), które jest symetrią względem prostej \(\displaystyle{ x=y=z}\).
Z góry dziękuję za pomoc.
Znaleźć wektory i wartości własne przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ L: \RR^3 \rightarrow \RR^3}\), które jest symetrią względem prostej \(\displaystyle{ x=y=z}\).
Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 4 cze 2017, o 23:47 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: Wartość własna i wektor własny.
Warto odwołać się do tego, co znaczy właściwie wektor/wartość własna przekształcenia liniowego (dokładniej endomorfizmu, tj. przekształcenia liniowego z przestrzeni liniowej w siebie).
Niech dane będzie przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L\colon V\to V}\), wartością własną przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) nazywamy taką liczbę (rzeczywistą bądź zespoloną) \(\displaystyle{ \lambda}\), dla której istnieje taki niezerowy wektor \(\displaystyle{ x\in V}\), że:
\(\displaystyle{ L(x)=\lambda x}\)
Wektor \(\displaystyle{ x\in V}\) nazywany jest wektorem własnym przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) związanym z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda}\). Innymi słowy jest to taki wektor, który pozostaje co do kierunku "nieruszony" ze swojej podprzestrzeni linowej. W przypadku izometrii takich jak symetrie możemy wyróżnić odpowiednie kierunki (proste), na których wektory zachowują się w odpowiedni sposób (albo pozostają nieruszone, albo odbijane na przeciwne).
Dla zobrazowania posłużę się przykładem dwuwymiarowym symetrii \(\displaystyle{ s\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2}\) względem wektora \(\displaystyle{ u=[1,1]}\) (który, jak widać, jest wektorem własnym):
\(\displaystyle{ \centering\begin{tikzpicture}
\tikzset{>=stealth}
% draw axises and labels. We store a single coordinate to have the
% direction of the x axis
\draw[->] (-4,0) -- ++(8,0) coordinate (X) node[below] {$x$};
\draw[->] (0,-4) -- ++(0,8) node[left] {$y$};
\draw[thick] (-4,-4) -- (4,4) node[above] {$\lambda=1$};
\draw[dashed] (-4,4) -- (4,-4) node[below] {$\lambda=-1$};
\draw[->] (0,0) -- (2,1) node[above] {$v$};
\draw[->] (0,0) -- (1,2) node[above] {$s(v)$};
\draw[dashed] (1.5,1.5) -- (2,1) -- (0.5,-0.5);
\draw[dashed] (1.5,1.5) -- (1,2) -- (-0.5,0.5);
\draw[thick, ->] (0,0) -- (1.5,1.5) node[above] {$u$};
\draw[->] (0,0) -- (0.5,-0.5) node[below] {$w$};
\draw[->] (0,0) -- (-0.5,0.5) node[below] {$-w$};
\end{tikzpicture}}\)
Aby dokonać przekształcenia \(\displaystyle{ s(v)}\), wystarczy rozłożyć \(\displaystyle{ v}\) względem wyróżnionych prostych, a następnie wykonać działanie \(\displaystyle{ s(v)=s(u+w)=s(u)+s(w)=u-w,}\) gdzie \(\displaystyle{ v=u+w}\). Wektory \(\displaystyle{ u=[1,1]}\) oraz \(\displaystyle{ w=[1,-1]}\) są wektorami (zauważ, że nie jedynymi) własnymi odwzorowania \(\displaystyle{ s}\), a odpowiadające im wartości własne to \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\).
W praktyce, jeżeli nie widzimy gołym okiem (a w przypadku symetrii da się to zrobić "bez liczenia"), co jest wartościami/wektorami własnymi, zadanie sprowadza się do znalezienia pierwiastków wielomianu charakterystycznego przekształcenia \(\displaystyle{ L}\). W tym celu potrzebujemy jednak wzoru analitycznego lub, od razu, macierzy przekształcenia w pewnej bazie (a możemy te rzeczy odzyskać, postępując analogicznie jak w przypadku dwuwymiarowym).
Niech dane będzie przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L\colon V\to V}\), wartością własną przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) nazywamy taką liczbę (rzeczywistą bądź zespoloną) \(\displaystyle{ \lambda}\), dla której istnieje taki niezerowy wektor \(\displaystyle{ x\in V}\), że:
\(\displaystyle{ L(x)=\lambda x}\)
Wektor \(\displaystyle{ x\in V}\) nazywany jest wektorem własnym przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) związanym z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda}\). Innymi słowy jest to taki wektor, który pozostaje co do kierunku "nieruszony" ze swojej podprzestrzeni linowej. W przypadku izometrii takich jak symetrie możemy wyróżnić odpowiednie kierunki (proste), na których wektory zachowują się w odpowiedni sposób (albo pozostają nieruszone, albo odbijane na przeciwne).
Dla zobrazowania posłużę się przykładem dwuwymiarowym symetrii \(\displaystyle{ s\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2}\) względem wektora \(\displaystyle{ u=[1,1]}\) (który, jak widać, jest wektorem własnym):
\(\displaystyle{ \centering\begin{tikzpicture}
\tikzset{>=stealth}
% draw axises and labels. We store a single coordinate to have the
% direction of the x axis
\draw[->] (-4,0) -- ++(8,0) coordinate (X) node[below] {$x$};
\draw[->] (0,-4) -- ++(0,8) node[left] {$y$};
\draw[thick] (-4,-4) -- (4,4) node[above] {$\lambda=1$};
\draw[dashed] (-4,4) -- (4,-4) node[below] {$\lambda=-1$};
\draw[->] (0,0) -- (2,1) node[above] {$v$};
\draw[->] (0,0) -- (1,2) node[above] {$s(v)$};
\draw[dashed] (1.5,1.5) -- (2,1) -- (0.5,-0.5);
\draw[dashed] (1.5,1.5) -- (1,2) -- (-0.5,0.5);
\draw[thick, ->] (0,0) -- (1.5,1.5) node[above] {$u$};
\draw[->] (0,0) -- (0.5,-0.5) node[below] {$w$};
\draw[->] (0,0) -- (-0.5,0.5) node[below] {$-w$};
\end{tikzpicture}}\)
Aby dokonać przekształcenia \(\displaystyle{ s(v)}\), wystarczy rozłożyć \(\displaystyle{ v}\) względem wyróżnionych prostych, a następnie wykonać działanie \(\displaystyle{ s(v)=s(u+w)=s(u)+s(w)=u-w,}\) gdzie \(\displaystyle{ v=u+w}\). Wektory \(\displaystyle{ u=[1,1]}\) oraz \(\displaystyle{ w=[1,-1]}\) są wektorami (zauważ, że nie jedynymi) własnymi odwzorowania \(\displaystyle{ s}\), a odpowiadające im wartości własne to \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\).
W praktyce, jeżeli nie widzimy gołym okiem (a w przypadku symetrii da się to zrobić "bez liczenia"), co jest wartościami/wektorami własnymi, zadanie sprowadza się do znalezienia pierwiastków wielomianu charakterystycznego przekształcenia \(\displaystyle{ L}\). W tym celu potrzebujemy jednak wzoru analitycznego lub, od razu, macierzy przekształcenia w pewnej bazie (a możemy te rzeczy odzyskać, postępując analogicznie jak w przypadku dwuwymiarowym).
Wartość własna i wektor własny.
A mógłby ktoś rozwiązać podany przykład? Chciałbym porównać z moim rozwiązaniem aby zobaczyć czy chociaż dobrze rozumuję/
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: Wartość własna i wektor własny.
Niech \(\displaystyle{ L}\) oznacza symetrię z zadania. Prosta \(\displaystyle{ x=y=z}\) rozpinana jest przez wektor \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) (dlaczego?). Każdy wektor na tej podprzestrzeni zostaje nieruszony, zatem każdy wektor na tej prostej spełnia równanie \(\displaystyle{ L(x) = x}\). Zatem \(\displaystyle{ \lambda=1}\) jest wartością własną tego operatora, a wektory \(\displaystyle{ \alpha \cdot [1,1,1]}\) dla \(\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R}}\) - wektorami własnymi odpowiadające wartości \(\displaystyle{ \lambda=1}\).
Symetria przerzuca każdy wektor prostopadły do \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) na przeciwny. Jeżeli weźmiemy dowolny wektor \(\displaystyle{ [x,y,z]}\), będzie on prostopadły do \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny \(\displaystyle{ [x,y,z]\cdot [1,1,1]^T}\) wynosić będzie zero: a zatem \(\displaystyle{ x+y+z=0}\). Dowolne dwa takie niewspółliniowe wraz z \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) tworzą bazę przestrzeni liniowej (a jak wiemy, przekształcenie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie poprzez wartości na wektorach bazowych).
Ja wybrałem \(\displaystyle{ v=[1,-1,0]}\), \(\displaystyle{ w=[1,1,-2]}\), im odpowiadają wartości własne \(\displaystyle{ \lambda = -1}\) i rozpinają całą płaszczyznę normalną do prostej wyznaczonej przez \(\displaystyle{ u=[1,1,1]}\). Zwróć uwagę, że wektory własne wyznaczone mogą się u Ciebie różnić (ważne, by rozpinały te same podprzestrzenie własne).
Druga metoda polega na wyznaczeniu macierzy przekształcenia \(\displaystyle{ A}\) w wybranej przez Ciebie bazie:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\\end{array}\right]}\)
oraz wyznaczeniu \(\displaystyle{ \det(A-\lambda I)}\).
Symetria przerzuca każdy wektor prostopadły do \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) na przeciwny. Jeżeli weźmiemy dowolny wektor \(\displaystyle{ [x,y,z]}\), będzie on prostopadły do \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny \(\displaystyle{ [x,y,z]\cdot [1,1,1]^T}\) wynosić będzie zero: a zatem \(\displaystyle{ x+y+z=0}\). Dowolne dwa takie niewspółliniowe wraz z \(\displaystyle{ [1,1,1]}\) tworzą bazę przestrzeni liniowej (a jak wiemy, przekształcenie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie poprzez wartości na wektorach bazowych).
Ja wybrałem \(\displaystyle{ v=[1,-1,0]}\), \(\displaystyle{ w=[1,1,-2]}\), im odpowiadają wartości własne \(\displaystyle{ \lambda = -1}\) i rozpinają całą płaszczyznę normalną do prostej wyznaczonej przez \(\displaystyle{ u=[1,1,1]}\). Zwróć uwagę, że wektory własne wyznaczone mogą się u Ciebie różnić (ważne, by rozpinały te same podprzestrzenie własne).
Druga metoda polega na wyznaczeniu macierzy przekształcenia \(\displaystyle{ A}\) w wybranej przez Ciebie bazie:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\\end{array}\right]}\)
oraz wyznaczeniu \(\displaystyle{ \det(A-\lambda I)}\).
Wartość własna i wektor własny.
Już większość rzeczy zrozumiałem, jedyne pytanie jakie mi się nasuwa, to dlaczego wartość własna dla wybranych przez Ciebie wektorów jest -1?
PS Z bazami sprawa wygląda dość łatwo, chodzi o bazę kanoniczną.
PS Z bazami sprawa wygląda dość łatwo, chodzi o bazę kanoniczną.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: Wartość własna i wektor własny.
Wektor \(\displaystyle{ v}\) znajdujący się w płaszczyźnie normalnej do prostej \(\displaystyle{ x=y=z}\) jest odbijany w symetrii na przeciwny, tzn. dla takich wektorów zachodzi
\(\displaystyle{ L(v)={\color{red}-1}\cdot v}\)
Zatem spełnia on z definicji równanie dla wartości własnej z wartością \(\displaystyle{ \lambda={\color{red} -1}}\).
\(\displaystyle{ L(v)={\color{red}-1}\cdot v}\)
Zatem spełnia on z definicji równanie dla wartości własnej z wartością \(\displaystyle{ \lambda={\color{red} -1}}\).
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: Wartość własna i wektor własny.
Dla sportu proponuję wyznaczyć jeszcze wzór analityczny tej symetrii na własną rękę (takie zadania i tak pewnie się pojawią) i wyznaczyć wartości/wektory własne drugą metodą .
Tak to jest z algebrą liniową, że by lepiej zrozumieć badany przedmiot, warto podchodzić do problemów odmiennymi metodami.
Tak to jest z algebrą liniową, że by lepiej zrozumieć badany przedmiot, warto podchodzić do problemów odmiennymi metodami.
Re: Wartość własna i wektor własny.
Witam,
Mam takie jedno zadanie podobne do tego które podał autor posta, zależy mi na rozwiązaniu algebraicznym (poprzez znalezienie wzoru przekształcenia):
Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia \(\displaystyle{ L: \RR^3 \rightarrow \RR^3,}\) które jest symetrią względem płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y+z=0 .}\)
Mam takie jedno zadanie podobne do tego które podał autor posta, zależy mi na rozwiązaniu algebraicznym (poprzez znalezienie wzoru przekształcenia):
Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia \(\displaystyle{ L: \RR^3 \rightarrow \RR^3,}\) które jest symetrią względem płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y+z=0 .}\)
Re: Wartość własna i wektor własny.
Nie wiem jak się za to konkretnie zabrać. Mam wektory bazy standardowej, czyli muszę wiedzieć co się z danym punktem dzieje po przekształceniu symetrycznym względem tej płaszczyzny? Mogę użyć metod geometrii analitycznej i na przykładzie dowolnego punktu stwierdzić jak on się zmieni?