Dopasuj współczynniki, metoda najmniejszych kwadratów

[Gondzon]

Dostaliśmy takie zadanko od pana dr...

Mamy równanie:
\(\displaystyle{ H(t)=h_0 +a_1 \sin \left( \frac{2\pi t}{12} \right) +a_2 \cos \left( \frac{2\pi t}{12} \right)}\)

Zrobiono następujące pomiary:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ c | c | c | c | c | c | c }
t_i & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10\\ \hline
H(t_i )& 1.0 & 1.6 & 1.4 & 0.6 & 0.2 & 0.8
\end{tabular}}\)

Dopasuj współczynniki funkcji H(t) do tej serii pomiarów za pomocą metody najmniejszych kwadratów.

Z góry dzięki!

[szw1710]

Poczytaj o algorytmie tej metody i pokaż własne próby rozwiązania tego zadania. Ono jest raczej standardowe. Kwestia znalezienia ekstremum funkcji trzech zmiennych.

[Gondzon]

No problem w tym, że my to jakoś macierzami robiliśmy, a wikipedia daje same sumy. Ja naprawdę potrzebuję prowadzenia za rękę

[szw1710]

Funkcja celu jest jednej zmiennej, więc wystarczy to co mówię.

[Gondzon]

No może wystarczy, ale pan prof powiedział, że mamy działać na macierzach :/

[szw1710]

W takim przypadku cosinusa traktujemy jako jedną zmienną, zaś sinusa jako drugą i mamy model regresji liniowej dwóch zmiennych, który rzeczywiście rozwiązuje się macierzowo. Sądzę jednak, że można by podejść do tego klasycznie z funkcją celu tak jak w metodzie najmniejszych kwadratów z dwoma parametrami. Jeśli jednak preferujesz macierze - zrób jak piszę, a wzory znajdziesz wszędzie. Tak więc przyjmujemy \(\displaystyle{ x_1=\sin\left(\frac{2\pi t}{12}\right),\;x_2=\cos\left(\frac{2\pi t}{12}\right)}\) i mamy model liniowy postaci \(\displaystyle{ H(x_1,x_2)=a_0+a_1x_1+a_2x_2}\).

[Gondzon]

Pytaliśmy, nie można klasycznie, trzeba macierzowo. Czy mógłby Pan podrzucić jakiś link gdzie wytłumaczą laikowi jak zrobić to mniej więcej krok po kroku?

[szw1710]

Mam lepszy pomysł: Edward Nowak, "Zarys metod ekonometrii".

Nie cierpię narzucania metod. Dobra jest każda, byle poprawna.

[Gondzon]

Może Pan nie cierpieć, ale zrobić my i tak musimy w ten sposób :/ Książki chyba nie zdążę znaleźć, zadanie na środę

[szw1710]

Po sieci też tego pełno. Pierwsze co znalazłem:

Kod: Zaznacz cały

https://www.math.uni.wroc.pl/~jasiulis/

... yklad6.pdf Hasło - regresja liniowa wielu zmiennych. Szukaj, aż znajdziesz coś, co Cię będzie satysfakcjonowało.

Podoba mi się, że prosisz o jakieś materiały, a nie o gotowca. A moja uwaga dotyczyła prowadzących zajęcia, nie mnie, że nie cierpię bo innej nie umiem.

[Gondzon]

Mniej więcej pan prof pokazał nam jak coś podobnego liczyć, ale coś nie wydaje mi się, żeby było ok... Możecie zerknąć gdzie popełniam błąd?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \beta _0 \\ \beta _1\\ \beta _2\\ \beta _3 \\\beta _4\\ \beta _5\\ \end{bmatrix}= \frac{1}{6} F_6 \begin{bmatrix}1\\1,6\\1,4\\0,6\\0,2\\0,8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{14}{15} \\ \frac{2}{15}-0,2887i \\ - \frac{1}{15} +0,0577i\\ ...\\...\\... \end{bmatrix}

h_0= \frac{a_0}{2} = \frac{14}{15}
, a_1= \frac{4}{15}
, a_2= - \frac{2}{15}}\)

No i z tego wychodzi mi wzór
\(\displaystyle{ H(t)= \frac{14}{15}+ \frac{4}{15}\sin\left( \frac{2\pi t}{12}\right)- \frac{2}{15}\cos \left( \frac{2\pi t}{12}\right)}\)

Jednak jak podstawiam poszczególne t to nie zwraca prawidłowych argumentów, stąd wnioskuję, że gdzieś popełniłem błąd.-- 9 cze 2017, o 19:11 --Nikt nie pomoże? :/