Macierz odwzorowania afinicznego.

[pawlo392]

Znaleźć macierz odwzorowania ( w standardowym układzie współrzędnych) afinicznego płaszczyzny rzeczywistej zadanego jako obrót o kąt \(\displaystyle{ \pi /4}\) dookoła punktu o współrzędnych \(\displaystyle{ (1,1)}\). Czy mógłby ktoś pokazać w jaki sposób się to wykonuje?

[janusz47]

Obrót punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) o kąt \(\displaystyle{ \theta}\) wokół dowolnego punktu różnego od punktu \(\displaystyle{ O(0, 0)}\) na przykład punktu o współrzędnych \(\displaystyle{ ( a, b)}\) wykonujemy w trzech etapach.

Etap I

Przesunięcie ( translacja) w kierunku przeciwnym do punktu \(\displaystyle{ (a, b)}\)

\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix}x\\ y \end{matrix}\right) \rightarrow \left(\begin{matrix}x-a \\ y-b \end{matrix}\right).}\)

Etap II

Obrót punktu \(\displaystyle{ (x-a, y-b)}\) o kąt \(\displaystyle{ \theta}\)

\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} \cos(\theta)& -\sin(\theta)\\ \sin(\theta)& \cos(\theta) \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x-a \\ y-b \end{matrix}\right).}\)

Etap III

Powrót do punktu \(\displaystyle{ (a,b)}\)

\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} x^{''}\\ y^{''}\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} \cos(\theta)& -\sin(\theta)\\ \sin(\theta)& \cos(\theta) \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x-a \\ y-b \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right)}\)

Pamiętamy aby miarę kąta \(\displaystyle{ \theta}\) podać w radianach.

[pawlo392]

Dziękuję.