Diagonalizowalność macierzy ze względu na parametry.

[0Mniac]

Witam. Mam do sprawdzenia czy macierz jest diagonalizowalna.

\(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cc}
a & 1\\
-b & -a
\end{array}
\right]
\qquad}\)

Liczę wyznacznik \(\displaystyle{ \left| A-\lambda\ \cdot I |}\)= \(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cc}
a-\lambda & 1\\
-b & -a-\lambda
\end{array}
\right]
\qquad}\)

I wychodzi:

\(\displaystyle{ (a-\lambda)(-a-\lambda)+b=0}\)

Pytanie jak działać z tym dalej?

[bartek118]

Odpowiedź na poziomie liceum: wymnożyć i deltę machnąć

[0Mniac]

Wymnożenie wydaje się tutaj kluczowe

Otrzymuję z tego \(\displaystyle{ \lambda^{2}=a^{2}-b}\), więc wystarczy po prostu:

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = \sqrt{a^{2}-b}}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_{2} = -\sqrt{a^{2}-b}}\)

Wygląda tragicznie jak się podstawi do wzoru:

\(\displaystyle{ \lambda_{1} = \sqrt{a^{2}-b}}\)

\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a- \sqrt{a^{2}-b} & 1 \\
-b & -a- \sqrt{a^{2}-b}
\end{array}
\right]
\qquad \cdot \left[
\begin{array}{c}
x \\
y}
\end{array}
\right]
\qquad= \left[
\begin{array}{c}
0 \\
0}
\end{array}
\right]
\qquad}\)

Dostaję \(\displaystyle{ -2bx=0}\) i co, mam tutaj wyciągać \(\displaystyle{ x}\), czyli po prostu \(\displaystyle{ x=0}\)?

Podstawiam do drugiej nierówności z macierzy:

\(\displaystyle{ -(a- \sqrt{ a^{2} })y=0}\)? I tutaj jest problem typu rozdział na dwa przypadki bo przecież tam może być albo \(\displaystyle{ y=0}\) albo \(\displaystyle{ (-a+a)y=0}\)- czyli co, \(\displaystyle{ y \in R}\)?

Teoretycznie brnę dalej ale prosiłbym o potwierdzenie bo trochę to mozolne.

[NogaWeza]

Już trochę zapomniałem z tych tematów, ale jestem niemal pewien, że to jest koniec zadania. Masz dwie wartości własne, obie mają krotność \(\displaystyle{ 1}\), więc dla każdej z nich istnieje wektor własny, ale po co go szukać? Pojedyncze wartości własne dadzą Ci przecież diagonalną macierz Jordana.

[bartek118]

Nie rozpatrzyłeś dokładnie wszystkich możliwości. Przede wszystkim, co gdy \(\displaystyle{ a^2-b < 0}\)?
Gdy \(\displaystyle{ a^2 - b > 0}\) mamy dwie wartości własne, więc macierz jest diagonalizowalna. Pytanie - co, gdy \(\displaystyle{ a^2 = b}\)?

[0Mniac]

Właśnie doczytałem zadanie i wygląda na to, że nie poinformowałem was o kluczowej sprawie. Ja mam sprawdzić dla JAKICH wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) ta macierz jest diagonalizowalna. Czuję więc, że w pewnym kroku to właśnie te zmienne powinny być szukanymi, pytanie gdzie.