Macierz przekształcenia w podanych bazach.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Macierz przekształcenia w podanych bazach.

Post autor: 0Mniac »

Witam. prosiłbym o sprawdzenie zadania:

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T:V \rightarrow V}\) ma w bazie \(\displaystyle{ B_{v} =\left\{ v_{1},v_{2},v_{3} \right\}}\) macierz:

\(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right]
\qquad}\)


Znaleźć macierz \(\displaystyle{ A^{'}}\) przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) w podanych bazach:
\(\displaystyle{ B^{'}_{v} = \left\{ v^{'}_{1}= 2v_{1},v^{'}_{2}= v_{1} +v_{2},v^{'}_{3}= -v_{1} +2v_{2}-v_{3} \right\}}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ A^{'}= P^{-1} \cdot A \cdot P}\), więc konstruuję macierz P

I to jest właśnie kluczowa sprawa, bo nie wiem czy moje postępowanie jest prawidłowe:

\(\displaystyle{ v^{'}_{1}= 2v_{1}=av_{1}+bv_{2}+cv_{3} \Rightarrow a=2,b=0,c=0}\)
\(\displaystyle{ v^{'}_{2}= v_{1} +v_{2}=av_{1}+bv_{2}+cv_{3} \Rightarrow a=0,b=1,c=1}\)
\(\displaystyle{ v^{'}_{3}= -v_{1} +2v_{2}-v_{3}=av_{1}+bv_{2}+cv_{3} \Rightarrow a=-1,b=2,c=-1}\)

Z tego mam macierz:

\(\displaystyle{ P= \left[
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
\qquad}\)


Liczę macierz odwrotną \(\displaystyle{ P^{-1} = \left[
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6}\\
0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\
0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}
\end{array}
\right]
\qquad}\)


I następnie, żeby podstawić do wzoru po prostu mnożę najpierw \(\displaystyle{ P^{-1}}\) razy \(\displaystyle{ A}\) a następnie otrzymaną macierz razy \(\displaystyle{ P}\).

Otrzymuję:

\(\displaystyle{ A^{'} = \left[
\begin{array}{ccc}
2 & \frac{25}{6} & -\frac{1}{6}\\
\frac{4}{3} & 3 & -\frac{2}{3}\\
2 & \frac{10}{3} & -\frac{1}{3}
\end{array}
\right]
\qquad}\)
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Macierz przekształcenia w podanych bazach.

Post autor: jutrvy »

Wszystko jest ok, tzn macierz \(\displaystyle{ P}\) ma być macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ B'}\) do bazy \(\displaystyle{ B}\). Jak napiszesz sobie ten wzorek:

\(\displaystyle{ P^{-1}AP}\) to możesz to "rozumieć" tak:

macierz \(\displaystyle{ A}\) rozumie język \(\displaystyle{ B}\), ale całość (przekształcenie \(\displaystyle{ P^{-1}AP}\)) ma rozumieć język \(\displaystyle{ B'}\) i dawać wynik w języku \(\displaystyle{ B'}\), więc powinno to działać tak. Najpierw ta maszynka dostaje twór w języku \(\displaystyle{ B'}\), więc jest potrzebna macierz \(\displaystyle{ P}\), która dla macierzy \(\displaystyle{ A}\) przetłumaczy wejście na język \(\displaystyle{ B}\), który skuma macierz \(\displaystyle{ A}\). Macierz \(\displaystyle{ A}\) zrobi swoje i wypluje wynik w języku \(\displaystyle{ B}\), no ale my chcemy wynik w języku \(\displaystyle{ B'}\), dlatego trzeba jeszcze całość walnąć macierzą \(\displaystyle{ P^{-1}}\), która zmienia bazę z \(\displaystyle{ B}\) w bazę \(\displaystyle{ B'}\), bo jest odwrotna do macierzy zmiany bazy z \(\displaystyle{ B'}\) w \(\displaystyle{ B}\).

Mam nadzieję, że dałem odrobinkę intuicji, pozdro

-- 3 cze 2017, o 22:51 --

PS \(\displaystyle{ B = \lbrace v_1, v_2, v_3\rbrace}\), a \(\displaystyle{ B'}\) to ta druga baza - nie napisałem tego wcześniej.
ODPOWIEDZ