Macierze przekształcenia liniowego.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Macierze przekształcenia liniowego.

Post autor: 0Mniac »

3Witam. Mam zadanie polegające na znajdowaniu macierzy przekształcenia. Wygląda to tak:

1) \(\displaystyle{ T: R^{2} \rightarrow R^{2} , T(x,y)=(3x-2y,2x+3y)}\)

Bazy to a) baza standardowa, b) \(\displaystyle{ \left\{ (3,2),(-2,3)\right\}}\) c) \(\displaystyle{ \left\{ (-1,2),(-2,2)\right\}}\)

Nie wiem czy ogólnie dobrze działam- podstawiam po prostu te wektory na zasadzie
\(\displaystyle{ T \vec{ e_{1} } = T(3,2) = (5,12)}\)
\(\displaystyle{ T \vec{ e_{2} } = T(-2,3) = (-12,5)}\)

I wychodzi mi macierz: \(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cc}
5 & -12\\
12 & 5
\end{array}
\right]
\qquad}\)


Analogicznie podpunkty a) i c)

2) \(\displaystyle{ T: R^{4} \rightarrow R^{2} , T(x,y,z,t)=(-2x+y-2z+t,x-2y+z-2t)}\)

w podanych bazach przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) oraz \(\displaystyle{ R^{2}}\)

a) \(\displaystyle{ B_{ R^{4} }}\) - baza standardowa

Tutaj podstawiałem po prostu kolejno wektory
\(\displaystyle{ T \vec{ e_{1} } = T(1,0,0,0) = (-2,1)}\)
\(\displaystyle{ T \vec{ e_{2} } = T(0,1,0,0) = (1,-2)}\)
\(\displaystyle{ T \vec{ e_{3} } = T(0,0,1,0) = (-2,1)}\)
\(\displaystyle{ T \vec{ e_{4} } = T(0,0,0,1) = (1,-2)}\)

Dostaję macierz \(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cccc}
-2 & 1 & -2 & 1\\
1 & -2 & 1 & -2
\end{array}
\right]
\qquad}\)


\(\displaystyle{ B_{ R^{2} }}\) - baza standardowa

I tutaj nie wiem za bardzo co tutaj podstawić. To samo z załóżmy podobnymi bazami typu:

\(\displaystyle{ \left\{ (2,1),(-1,0)\right\}}\)

Jakaś podpowiedź?

EDIT: Już chyba rozumiem zasadę działania, ja myślałem, że te kolejne bazy to inny podpunkt, a to wystarczy podstawić najpierw pierwszą bazę i potem sprawdzić jaka to kombinacja drugiej bazy np.

\(\displaystyle{ T(0,1,1,-1)=(-2,1)= \alpha (2,1)+ \beta (-1,0) \rightarrow \alpha =1, \beta =4}\)

\(\displaystyle{ T(1,0,-1,0)=(0,0)= \alpha (2,1)+ \beta (-1,0) \rightarrow \alpha =0, \beta =0}\)

\(\displaystyle{ T(1,-1,0,1)=(2,-1)= \alpha (2,1)+ \beta (-1,0) \rightarrow \alpha =-1, \beta =-4}\)

\(\displaystyle{ T(0,0,0,1)=(1,-2)= \alpha (2,1)+ \beta (-1,0) \rightarrow \alpha =-2, \beta =-5}\)

\(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -1 & -2\\
4 & 0 & -4 & 5
\end{array}
\right]
\qquad}\)


Czy tak to ma wyglądać?
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Macierze przekształcenia liniowego.

Post autor: jutrvy »

No właśnie nie, napisałem Ci, jak coś takiego się robi odpowiadając na inny Twój post. W Twoich rozwiązaniach brakuje jeszcze czegoś. Musisz wyniki, które dostałeś, np te:
0Mniac pisze: \(\displaystyle{ T \vec{ e_{1} } = T(3,2) = (5,12)}\)
\(\displaystyle{ T \vec{ e_{2} } = T(-2,3) = (-12,5)}\)
przetłumaczyć na język bazy, w której masz podać macierz tego przekształcenia, tzn musisz wyrazić wektory \(\displaystyle{ (5,12), (-12,5)}\) we współrzędnych z polecenia.

To samo się tyczy przekształcenia z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). To, że patrzysz na obrazy wektorów bazowych jest dobrym początkiem, ale te obrazy musisz napisać w podanej bazie w zadaniu, a nie w bazie standardowej.
0Mniac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 7 cze 2015, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Macierze przekształcenia liniowego.

Post autor: 0Mniac »

Czyli ja po prostu obliczyłem macierz \(\displaystyle{ A}\), a powinienem jeszcze obliczyć macierz z tego wzoru \(\displaystyle{ A^{'} = P^{-1} \cdot A \cdot P}\) tak?

Czyli muszę wyrazić wektory \(\displaystyle{ (5,12)}\) oraz \(\displaystyle{ (-12,5)}\) jako kombinacja \(\displaystyle{ (3,2)}\) oraz \(\displaystyle{ (-2,3)}\) np.

\(\displaystyle{ (5,12)=a(3,2)+b(-2,3) \Rightarrow a=3, b=2}\)
\(\displaystyle{ (-12,5)=a(3,2)+b(-2,3) \Rightarrow a=-2, b=3}\)

Z tego mam macierz \(\displaystyle{ P= \left[
\begin{array}{cc}
3 & -2 \\
2 & 3
\end{array}
\right]
\qquad}\)


Potem oczywiście lecę jeszcze macierz odwrotną do \(\displaystyle{ P}\) i podstawiam do wzorku \(\displaystyle{ A^{'} = P^{-1} \cdot A \cdot P}\)?

EDIT:
Dotarło do mnie, że szukaną jest macierz P, niepotrzebne te dalsze obliczenia -- 4 cze 2017, o 18:59 --Pytanie jak to rozwiązać w przykładzie \(\displaystyle{ b)}\), gdyż mam 2 wektory \(\displaystyle{ B_{R^{2} }}\) natomiast z bazy \(\displaystyle{ B_{R^{4} }}\) dostaję 4 wektory. Gdyby próbować wyrazić te 2 wektory ze starej bazy 4 nowymi mam 2 równania z 4 niewiadomymi. O ile w podpunkcie \(\displaystyle{ a)}\) z 4 wektorów zrobiły się 2 ze względu na to, że są takie same. Co w drugim przypadku?
ODPOWIEDZ