Przekształcenia liniowe

[Akiro]

Przekształcenie L jest przekształceniem liniowym takim, że \(\displaystyle{ L(1,1,2) = (5,4), L(2,3,1) = (1,6)}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ L(7,8,9)}\) i \(\displaystyle{ L(3,4,3)}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć o co chodzi z tym wzorem przekształceń liniowych? Bo to jest pewnie banalne ale nie ma nigdzie tego wytłumaczonego na ludzki język

[Premislav]

Znajdź takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\), że
\(\displaystyle{ (7,8,9)= a\cdot (1,1,2)+b \cdot (2,3,1)}\)
i skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ L(a\cdot v+b\cdot w)=a\cdot L(v)+b\cdot L(w)}\)
dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ a,b}\) i wektorów \(\displaystyle{ u,v}\) (czyli po prostu z liniowości przekształcenia \(\displaystyle{ L}\)).
Skalary \(\displaystyle{ a,b}\) znajdujesz, rozwiązując układ równań.

Podobnie w tym drugim przypadku.

[Benny01]

To równanie jest sprzeczne. W większości przypadkach układ 3 równań z 2 niewiadomymi jest sprzeczny.

[Premislav]

Benny01, słuszne spostrzeżenie, dzięki. Założyłem, że treść ma jakiś sens, a chyba jednak nie ma...

Potrzebujemy trzech liniowo niezależnych wektorów, by mieć bazę przestrzeni wymiaru \(\displaystyle{ 3}\), więc powinienem był to od razu zauważyć.

[a4karo]

Jeżeli wektor \(\displaystyle{ [7,8,9]}\) nie da sie wyrazic jako kombinacja liniowa wektorów \(\displaystyle{ [1,1,2]}\) i \(\displaystyle{ [2,3,1]}\), to \(\displaystyle{ L([7,8,9])}\) może być dowolną liczbą.

Uzasadnienie jest takie, że te trzy wektory tworzą wtedy bazę przestrzeni liniowej trójwymiarowej, więc każdy wektor \(\displaystyle{ [x,y,z]}\) ma jednoznaczne przedstawienie \(\displaystyle{ a[7,8,9]+b[1,1,2]+c[2,3,1]}\) i kładąc np \(\displaystyle{ L([7,8,9]=[\alpha,\beta]}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ L([x,y,z]=a[\alpha,\beta]+b[5,4]+c[1,6]}\)

[Akiro]

Znajdź takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\), że
\(\displaystyle{ (7,8,9)= a\cdot (1,1,2)+b \cdot (2,3,1)}\)
i skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ L(a\cdot v+b\cdot w)=a\cdot L(v)+b\cdot L(w)}\)
dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ a,b}\) i wektorów \(\displaystyle{ u,v}\) (czyli po prostu z liniowości przekształcenia \(\displaystyle{ L}\)).
Skalary \(\displaystyle{ a,b}\) znajdujesz, rozwiązując układ równań.

Podobnie w tym drugim przypadku.

Bo to miało być (7,9,8), wtedy wychodzi a=3 oraz b=2 i teraz nie za bardzo wiem co dalej zrobić.

[Dreeze]

Bo to miało być (7,9,8), wtedy wychodzi a=3 oraz b=2 i teraz nie za bardzo wiem co dalej zrobić.

Skorzystaj z liniowości odwzorowania \(\displaystyle{ L}\)

\(\displaystyle{ L(7,9,8) = aL(1,1,2)+bL(2,3,1) = a \cdot (5,4) + b \cdot (1,6)}\)

gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) to rozwiązania układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}a+2b = 7\\a+3b=9\\2a+b=8\end{cases}}\)

[Akiro]

Bo to miało być (7,9,8), wtedy wychodzi a=3 oraz b=2 i teraz nie za bardzo wiem co dalej zrobić.

Skorzystaj z liniowości odwzorowania \(\displaystyle{ L}\)

\(\displaystyle{ L(7,9,8) = aL(1,1,2)+bL(2,3,1) = a \cdot (5,4) + b \cdot (1,6)}\)

gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) to rozwiązania układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}a+2b = 7\\a+3b=9\\2a+b=8\end{cases}}\)

Dzięki, zatrybiłem o co tu chodzi, pozdrawiam.