Podprzestrzenie wektorowe

[mark929]

Sprawdź, czy zbiory \(\displaystyle{ w _{1}}\) ={ p:p-wielomian stopnia parzystego} oraz \(\displaystyle{ w _{2} =\left\{ p:p ^{2}(1)=0 \right\}}\) są podprzestrzeniami wektorowymi przest. \(\displaystyle{ V=R[x]}\)

[Premislav]

Ten pierwszy zbiór nie jest podprzestrzenią liniową, do \(\displaystyle{ w_1}\) należą np. wielomiany
\(\displaystyle{ x^2+x}\) oraz \(\displaystyle{ -x^2}\), a jak będzie z ich sumą?

[mark929]

\(\displaystyle{ x ^{2} +x-x ^{2} =x}\)
1- parzysty stopień wielomianu
A jak będzie w drugim przypadku ?

[Premislav]

Jeżeli uważasz, że \(\displaystyle{ 1}\) jest liczbą parzystą, a studiujesz kierunek ścisły, to przykro mi, ale gdzieś są granice (i dla mnie gdzieś tu przebiegają). Podałem Ci takie dwa elementy \(\displaystyle{ w_1}\), których suma nie należy do \(\displaystyle{ w_1}\).
W drugim jeśli rzeczywiście miało być \(\displaystyle{ p^2(1)}\), to masz tak:
\(\displaystyle{ p^2(1)}\) to suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ p^2}\) (gdzie \(\displaystyle{ p}\) to jakiś wielomian).
Jest ona równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ p}\) wynosi zero, a na to będzie łatwiej patrzyć.
No bo \(\displaystyle{ (a_0+a_1+\dots+a_n)^2=0 \Leftrightarrow a_0+a_1+\dots+a_n=0}\)
Po tym spostrzeżeniu rozpisz to z definicji podprzestrzeni liniowej.

[mark929]

mam jeszcze przypadek taki: \(\displaystyle{ p'(1)=0}\) jak go rozwiązać ?
Ps. parzysta nie parzysta czy to wgl jakaś różnica i może ja studiuje socjologie albo dziennikarstwo