Niech \(\displaystyle{ [a,b]}\) - przedział skończony, nie zawierający 0, a \(\displaystyle{ c \in R}\). Definiujemy \(\displaystyle{ w_{n}}\)- zbiór wielomianów stopnia \(\displaystyle{ n}\), tż \(\displaystyle{ w(0)=c}\).
Pokazać, że ze wszystkich wielomianów postaci \(\displaystyle{ w_{n}}\) najmniejszą normę jednostajną na \(\displaystyle{ [a,b]}\) ma wielomian: \(\displaystyle{ c* \frac{ T_{n}( \frac{2x-a-b}{b-a})}{ T_{n}( \frac{a+b}{a-b} ) }}\), gdzie \(\displaystyle{ T_{n}(x)}\) to wielomian Czebyszewa.
Jaka jest odpowiedź dla przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\) zawierającego 0?
Wiem, ze trzeba skorzystać z twierdzenia, że na [-1,1] najmniejszą normę jednostajną ma wielomian \(\displaystyle{ \frac{1}{ 2^{k-1} } T_{k}(x)}\)
Musimy przedział \(\displaystyle{ [-1,1]}\) zamienić na \(\displaystyle{ [a,b]}\). Umiem to zrobić więc wiem, czemu w tezie pojawia się ten licznik. Natomiast nie wiem, skąd bierze się ten mianownik.
Proszę o wskazówki i dziękuję