Baza ortonormalna

[pawlo392]

Znaleźć iloczyn skalarny, tj jawny wzór, dla którego baza przestrzeni \(\displaystyle{ \mathhbb{R}^2}\) składająca się z wektorów \(\displaystyle{ (2,0) , (1,1)}\) jest ortonormalna.

Czy ktoś mógłby przybliżyć w jaki sposób się to wykonuje.

[szw1710]

Zapisz sobie ogólną postać iloczynu skalarnego i tak dobierz współczynniki, żeby Twoje założenie było spełnione.

[pawlo392]

Niech zatem \(\displaystyle{ v_1=(2,0)}\) oraz \(\displaystyle{ v_2=(1,1)}\).

Dla każdego \(\displaystyle{ v \in \mathbb{R}^2}\) niech to będzie \(\displaystyle{ v=(a,b)}\) ma zachodzić :

\(\displaystyle{ v=\left\langle v,v_1\right\rangle v_1 + \left\langle v,v_2\right\rangle v_2}\).

Czyli z tego by wychodziło że \(\displaystyle{ v=(5a+b,a+b)}\)

[yorgin]

Nie tak.

Kazdy iloczyn (z dokładnością do odpowiedniej relacji na współczynnikach) skalarny w \(\displaystyle{ \RR^2}\) zadany jest wzorem

\(\displaystyle{ \langle u,v \rangle=au_1v_1+bu_1v_2+bu_2v_1+cu_2v_2}\)

I twoje zadanie to dobranie współczynników tak, aby wyszło to, co jest założone na początku.

[pawlo392]

Tak, już do tego doszedłem. Dziękuję.