Obroty w przestrzeni liniowej i afinicznej

[relic]

Witam,

czy obrót wokół prostej zgodnie z jakąś bazą sprowadza się do obrotu wokół punktu?

[a4karo]

W jakiej przestrzeni pracujesz? Jeżeli mówisz o obrocie względem prostej, to sądzę, że w \(\displaystyle{ \RR^3}\). Czym jest obrót względem punktu?

[relic]

Załóżmy, że jesteśmy w \(\displaystyle{ \RR^3}\) i mamy się obrócić względem prostej \(\displaystyle{ L=p_{0}+lin(\phi)}\).

I wtedy mamy daną przez bazę \(\displaystyle{ \{ \alpha,\beta\}}\) orientację przestrzeni \(\displaystyle{ T(L)^{ \pm }}\) // (\(\displaystyle{ \pm}\) oznacza ze to przestrzen prostopadla, tylko nie wiem jak wpisać poprawny symbol)

więc obracamy przestrzeń z bazą \(\displaystyle{ \AA =\{\alpha_1,\beta_1,\phi\}}\) gdzie \(\displaystyle{ \{\alpha_1,\beta_1 \}}\) jest bazą zorientowaną i ortonormalną o kąt \(\displaystyle{ \theta}\) przekształceniem, którego macierz w bazie \(\displaystyle{ \AA}\) będzie wyglądała tak
\(\displaystyle{ A= \left[ \begin{array}{ccc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0\\ \sin{\theta}&\cos{\theta} & 0\\0&0&1 \end{array} \right]}\)

a to bedzie chyba obrot w przestrzeni liniowej wokół punktu \(\displaystyle{ \phi}\)

[AiDi]

No dobrze, ale co rozumiesz przez "obrót w przestrzeni liniowej wokół punktu \(\displaystyle{ \phi}\)"? W przestrzeni liniowej nie masz punktów, tylko wektory.

[a4karo]

JAk masz np.punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) to stwierdzenie: obrót wokół punktu o kąt \(\displaystyle{ \phi}\) nie jest jednoznaczne. Weż do ręki piłkę i zobacz, że możesz ją obrócic o ustalony kąt na mnóstwo sposobów nie zmieniając położenia środka.

[relic]

a4karo, ale jak mam płaszczyznę przechodzącą przez \(\displaystyle{ 0}\) to mogę ją obracać wokół środka układu współrzędnych, albo innego punktu należącego do tej płaszczyzny bez problemu.

Bo problem obrotu przestrzeni wokół prostej np. w \(\displaystyle{ \RR^3}\) sprowadza się do zwykłego obrotu o dany kąt przestrzeni dwuwymiarowej wokół punktu \(\displaystyle{ \(0,0\)}\).

[a4karo]

Ale wtedy obracasz de facto nie wokół punktu, ale według osi prostopadłej do tej płaszczyzny

[relic]

Dobra rozumiem.

A co w przypadku, gdybym w jakiejś n-wymiarowej, przestrzeni \(\displaystyle{ n>3}\) obracał się wokół prostej. Wtedy macierz nie wyglądała by tak ładnie jak wyżej.

[a4karo]

W przestrzeni czterowymiarowej pojęcie obrotu względem prostej jest tak samo niejednoznaczne jak obrót względem punktu w przestrzeni trójwymiarowej

[relic]

Wychodzi na to, że obrót ma sens jedynie w płaszczyźnie.

[a4karo]

Obrót jest przekształcenie płaszczyzny. Jeżeli przestrzeń "Wystaje" za płaszczyznę, to przekształca się odpowiednio. W trzech wymiarach masz niezmiennicza od obrotu (prosta) w czterech niezmiennicza płaszczyznę itd.