działanie grupowe

[ralfik10x]

Potrzebuję pomocy z zadaniem
Czy następujące działanie jest działaniem grupowym na wskazanym zbiorze:
\(\displaystyle{ a \circ b = \sqrt{ab}}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R^{+}}}\)
i \(\displaystyle{ a \circ b = \sqrt{ab} - a}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R^{+}}}\)

[AloneAngel]

Sprawdź czy w ogóle jest to działanie (czy jego wynik zawsze wpada do grupy). Następnie sprawdź łączność, istnienie elementu neutralnego i odwrotnego.

[ralfik10x]

a jak to zrobić?

[AloneAngel]

Najlepiej z definicji...

1) Czy jeżeli weźmiesz dwa elementy \(\displaystyle{ a,b \in \mathbbm{R}^{+}}\) to czy \(\displaystyle{ a \circ b = \sqrt{ab}}\) też należy do \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{+}}\) ?

2) Weź dowolne \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R}^{+}}\). Czy zawsze zachodzi \(\displaystyle{ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)}\).

3) Musisz znaleźć taki element \(\displaystyle{ e \in \mathbb{R}^{+}}\) żeby \(\displaystyle{ a \circ e = e \circ a = a}\) (Sprowadza się to do rozwiązania równania, przy czym ten element musi być wyznaczony jednoznacznie).

4) Bierzesz dowolny element \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}^{+}}\) i sprawdzasz czy istnieje dla niego element \(\displaystyle{ a^{-1} \in \mathbb{R}^{+}}\) taki, że \(\displaystyle{ a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e}\).

[ralfik10x]

Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ a \circ b = \sqrt{ab}}\) po podstawieniu za a i b dowolnych liczb nie wychodzi równość więc mam rozumieć, że jes to nieprawda?

[leg14]

Z czym nei wychdozi równość?

[ralfik10x]

\(\displaystyle{ a \circ b = \sqrt{ab}}\)
Wgl nie wiem jak mam rozwiązywać tego typu zadania te definicje nic mi nie mówią. Jeśli podstawię za a i b dowolną liczbę ze zbioru liczb rzeczywistych dodatnich to zawsze otrzymam w wyniku działania liczbę rzeczywistą dodatnią. Co dalej ?
Sprawdzam aksomat \(\displaystyle{ (a \circ b)\circ c = a\circ(b\circ c)}\). Tylko nie wiem jak...

[leg14]

Ale \(\displaystyle{ a \circ b = \sqrt{ab}}\) jest definicją działania, jak tam może nei wychdozić równość?

[ralfik10x]

leg14 czy mogłbyś mi to rozwiązać żebym zobaczył na przykładzie jak to zrobić? bo kompletnie nie ogarniam-- 27 maja 2017, o 22:42 --Zrobiłem to tak (nie wiem czy dobrze)
1. \(\displaystyle{ (a\circ b)\circ c = a \circ (b \circ c)}\):
\(\displaystyle{ \sqrt{a\circ b} \circ \sqrt{c} = \sqrt{a} \circ \sqrt{b\circ c}}\)
2. \(\displaystyle{ \sqrt{a \circ b} \circ e = e \circ \sqrt{a \circ b} = \sqrt{a \circ b}}\), gdzie \(\displaystyle{ e = 1\in \mathbb{R^+}}\)
3. \(\displaystyle{ \sqrt{a \circ b} \circ \frac{1}{ \sqrt{a\circ b} } = \frac{1}{ \sqrt{a\circ b} } \circ \sqrt{a \circ b} = 1}\)

Na podstawie tego stwierdzam, że jest to działanie grupowe czy jest to dobrze?

[a4karo]

Czy umiesz policzyć \(\displaystyle{ (1\circ 2)\circ 2}\)? A \(\displaystyle{ (1\circ (2\circ 2)}}\)
To jest definicja działąnia\(\displaystyle{ a\circ b=\sqrt{a{\red\cdot}b}}\) - ta czerwona kropka jest zwykłym mnożeniem.

Musisz po prostu na kazdym kroku stosować definicję działania \(\displaystyle{ \circ}\).

\(\displaystyle{ (a\circ b)\circ c=\sqrt{(a\circ b){\red\cdot}c}=\sqrt{\sqrt{a{\red\cdot}b}{\red\cdot}c}}\)

[ralfik10x]

Czyli mam rozumieć, że moje rozwiązanie jest zle?

[a4karo]

Dobrze rozumiesz. To, co zaprezentowałes, to w ogóle nie jest rozwiązanie.

Przeczytaj jeszcze raz definicję elementu neutralnego. Z jakiego powodu zakładasz, że \(\displaystyle{ e=1}\)?

[ralfik10x]

Jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{a*b}}\) pomnożę przez 1 to wyjdzie mi to samo ( w mnożeniu el neutralnym jest 1)

[a4karo]

Ale przecież nie o to chodzi: element neutralny, to taki, że dla każdego \(\displaystyle{ a}\) zachodzi \(\displaystyle{ a\circ e\a}\).
Czy dla każdego \(\displaystyle{ a}\) ma być \(\displaystyle{ a\circ e=\sqrt{ae}=a}\). Czy takie \(\displaystyle{ e}\) istnieje?

[ralfik10x]

Nie zachodzi dla każdego, a co z łącznością i odwrotnością? Jak się wgl do tego zabrać skoro to co podałem nie jest rozwiązaniem

-- 28 maja 2017, o 12:56 --

a jeśli chodzi o ten przykład \(\displaystyle{ a \circ b = \sqrt{ab} - a}\)
1. \(\displaystyle{ (a\circ b)\circ c = \sqrt{ab} - a * \sqrt{cd} - c * \sqrt{ef} - e}\) ??