Izomorficzność przestrzeni

[olka140]

Niech \(\displaystyle{ (C[0,1],+,\mathbb{R},\cdot)}\) będzie przestrzenią liniową funkcji ciągłych na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Dla ustalonego \(\displaystyle{ x_0\in [0,1]}\) niech \(\displaystyle{ U(x_0)=\{f\in C[0,1]: f(x_0)=0\}}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ C[0,1]\cong U(x_0) \times \mathbb{R}}\).

[Dualny91]

Podpowiedź: dla ustalonej funkcji \(\displaystyle{ f}\) i punktu \(\displaystyle{ x_0}\), odwzorowanie \(\displaystyle{ x \mapsto f(x)-f(x_0)}\) zeruje się w \(\displaystyle{ x_0.}\)