Witam, mam problem z uzupełnieniem do kwadratów tej formy kwadratowej
\(\displaystyle{ \phi(x,y,z)=3x^{2}+4xy+2xz+sy^{2}+tz^{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ t,s \in \mathbb{R}}\)
próbowałem ale nie idzie :/ doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ 2(x+y)^{2}+(x+z)^{2}+(s-1)y^{2}+(t-1)z^{2}}\) no ale to mam cztery kwadraty zamiast trzech :/
Formy kwadratowe
- Dreeze
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 8 maja 2017, o 19:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 14 razy
Re: Formy kwadratowe
Zobacz, uzupełniasz po kolei do kwadratów. Najpierw grupujesz wszystkie elementy, w których występuje \(\displaystyle{ x}\), itd.
Mi wyszło coś takiego.
\(\displaystyle{ 3x^{2}+4xy+2xz+sy^{2}+tz^2=3\left(x+\frac{2}{3}y + \frac{1}{3}z\right)^2 - \frac{4}{3}yz + \left(s-\frac{4}{3}\right)y^2 +\\+\left(t-\frac{1}{3}\right)z^2 =3(x')^2 + \left(s-\frac{4}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3(s-\frac{4}{3})}z\right)^2+ \left(t-\frac{1}{3} - \frac{4}{9(s-\frac{4}{3})}\right)z^2=\\=3(x')^2 + \left(s - \frac{4}{3}\right)(y')^2 +\left(t-\frac{s}{3s-4}\right)(z')^2}\)
gdzie,
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' = x+\frac{2}{3}y + \frac{1}{3}z \\ y'=y-\frac{2}{3(s-\frac{4}{3})}z \\ z'=z\end{cases}}\)
Mi wyszło coś takiego.
\(\displaystyle{ 3x^{2}+4xy+2xz+sy^{2}+tz^2=3\left(x+\frac{2}{3}y + \frac{1}{3}z\right)^2 - \frac{4}{3}yz + \left(s-\frac{4}{3}\right)y^2 +\\+\left(t-\frac{1}{3}\right)z^2 =3(x')^2 + \left(s-\frac{4}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3(s-\frac{4}{3})}z\right)^2+ \left(t-\frac{1}{3} - \frac{4}{9(s-\frac{4}{3})}\right)z^2=\\=3(x')^2 + \left(s - \frac{4}{3}\right)(y')^2 +\left(t-\frac{s}{3s-4}\right)(z')^2}\)
gdzie,
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' = x+\frac{2}{3}y + \frac{1}{3}z \\ y'=y-\frac{2}{3(s-\frac{4}{3})}z \\ z'=z\end{cases}}\)