Płaszczyzny styczne

[kito]

Mam problem z kilkoma zadaniami, które związane są z tematem stycznych. Próbowałem je robić i pokaże jak, ale na każdym gdzieś utknąłem.

Zadanie 1

Znaleźć płaszczyznę styczną do \(\displaystyle{ z = \frac{x^2}{y}}\)przechodzącą przez \(\displaystyle{ A(1, 0, −2)}\).

Obliczyłem więc pochodne cząstkowe funkcji z, które wyniosły

\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{2x}{y} \\ \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{-x^2}{y^2}}\)

no i problem pojawia się w momencie kiedy chcę obliczyć wartości tych pochodnych w punktach \(\displaystyle{ x=1, y=0}\). W takim wypadku musiałbym dzielić przez 0. Czy w takim wypadku płaszczyzna styczna w tym punkcie nie istnieje ? Czy może moje rozumowanie jest błędne.

Zadanie 2

Znaleźć punkt, przez który przechodzą wszystkie płaszczyzny styczne do powierzchni \(\displaystyle{ z=xe^{ \frac{y}{x} }}\)

To zadanie próbowałem ugryźć ze wzoru na płaszczyznę styczną w punkcie. Niestety nie wiem co robić dalej.

[kerajs]

Zadanie 1.
Punkt A nie należy do podanej powierzchni więc nie wiem dlaczego chcesz do gradientu wstawiać jego współrzędne.
\(\displaystyle{ 0=F(x,y,z)= \frac{x^2}{y}-z\\
grad (F)=\left[ \frac{2x}{y},\frac{-x^2}{y^2},-1\right]}\)
Punkt styczności to \(\displaystyle{ S=(x_0,y_0, \frac{x_0^2}{y_0})}\)
Równanie stycznej:
\(\displaystyle{ \frac{2x_0}{y_0}(x-1)- \frac{x_0^2}{y^2_0}(y-0)-1(z-2)=0}\)
Zawiera ona punkt S:
\(\displaystyle{ \frac{2x_0}{y_0}(x_0-1)- \frac{x_0^2}{y^2_0}(y_0-0)-1(\frac{x_0^2}{y_0}-2)=0\\
\frac{2x_0^2}{y_0}-\frac{2x_0}{y_0}-\frac{x_0^2}{y_0}-\frac{x_0^2}{y_0}+2=0\\
\frac{2x_0}{y_0}=2\\
x_0=y_0=k \neq 0}\)
Wracając do równania stycznej
\(\displaystyle{ \frac{2k}{k}(x-1)- \frac{k^2}{k^2}(y-0)-1(z-2)=0\\
2(x-1)-(y)-(z-2)=0\\
2x-y-z=0}\)

Zadanie 2.
Pokombinuj wzorując się na zadaniu 1)
Szukanym punktem będzie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)