Wektory liniowo niezależne

[mark929]

Dowieść, że jeśli wektory \(\displaystyle{ v _{1} , v _{2} , v _{3}}\) są liniowo niezależne, to wtedy wektory \(\displaystyle{ v_{1} + v _{2}}\) , \(\displaystyle{ v _{2}+v _{3}}\), \(\displaystyle{ v_{1}+v _{3}}\) są liniowo niezależne.
Proszę o pomoc w zadaniu
wiem że warunek na niezależność wektorów to: \(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v _{1} + \alpha _{2} \cdot v _{2}+ \alpha _{3} \cdot v _{3} =0}\)
Następnie należy wymnożyć współrzędne i ułożyć układy równań(tyle równań ile "wymiarowe" są wektory) jeśli układ będzie tożsamościowy to nie są liniowo niezależne a jeśli jedynym rozwiązaniem będzie 0 to będą liniowo niezależne. Niestety nie wiem jak to zastosować w tym zadaniu.

[Premislav]

Piszemy "niezależne", a nie "nie zależne", chyba że np. w takim kontekście:
nie zależne od żydowskiego lobby, lecz prawdziwie polskie władze są nam potrzebne.

wiem że warunek na niezależność wektorów to: \(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v _{1} + \alpha _{2} \cdot v _{2}+ \alpha _{3} \cdot v _{3} =0}\)

Nie do końca. Dokładniej, warunek na liniową niezależność wektorów jest taki:
\(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v _{1} + \alpha _{2} \cdot v _{2}+ \alpha _{3} \cdot v _{3} =0 \Leftrightarrow \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0}\)
Więc w tym zadaniu wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \alpha_1(v_1+v_2)+\alpha_2(v_2+v_3)+\alpha_3(v_1+v_3)=\\=(\alpha_1+\alpha_3)v_1+(\alpha_1+\alpha_2)v_2+(\alpha_2+\alpha_3)v_3}\)
i rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha_1+\alpha_3=0 \\\alpha_1+\alpha_2=0 \\\alpha_2+\alpha_3=0 \end{cases}}\)

[mark929]

Dzięki a to prawda co napisałem ? "jeśli układ będzie tożsamościowy to nie są liniowo niezależne, a jeśli jedynym rozwiązaniem będzie 0 to będą liniowo niezależne"

[Premislav]

Dzięki a to prawda co napisałem ? "jeśli układ będzie tożsamościowy to nie są liniowo niezależne, a jeśli jedynym rozwiązaniem będzie 0 to będą liniowo niezależne"

Tak, to prawda.