Dowieść, że jeśli wektory \(\displaystyle{ v _{1} , v _{2} , v _{3}}\) są liniowo niezależne, to wtedy wektory \(\displaystyle{ v_{1} + v _{2}}\) , \(\displaystyle{ v _{2}+v _{3}}\), \(\displaystyle{ v_{1}+v _{3}}\) są liniowo niezależne.
Proszę o pomoc w zadaniu
wiem że warunek na niezależność wektorów to: \(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v _{1} + \alpha _{2} \cdot v _{2}+ \alpha _{3} \cdot v _{3} =0}\)
Następnie należy wymnożyć współrzędne i ułożyć układy równań(tyle równań ile "wymiarowe" są wektory) jeśli układ będzie tożsamościowy to nie są liniowo niezależne a jeśli jedynym rozwiązaniem będzie 0 to będą liniowo niezależne. Niestety nie wiem jak to zastosować w tym zadaniu.
Wektory liniowo niezależne
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wektory liniowo niezależne
Piszemy "niezależne", a nie "nie zależne", chyba że np. w takim kontekście:
nie zależne od żydowskiego lobby, lecz prawdziwie polskie władze są nam potrzebne.
\(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v _{1} + \alpha _{2} \cdot v _{2}+ \alpha _{3} \cdot v _{3} =0 \Leftrightarrow \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0}\)
Więc w tym zadaniu wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \alpha_1(v_1+v_2)+\alpha_2(v_2+v_3)+\alpha_3(v_1+v_3)=\\=(\alpha_1+\alpha_3)v_1+(\alpha_1+\alpha_2)v_2+(\alpha_2+\alpha_3)v_3}\)
i rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha_1+\alpha_3=0 \\\alpha_1+\alpha_2=0 \\\alpha_2+\alpha_3=0 \end{cases}}\)
nie zależne od żydowskiego lobby, lecz prawdziwie polskie władze są nam potrzebne.
Nie do końca. Dokładniej, warunek na liniową niezależność wektorów jest taki:wiem że warunek na niezależność wektorów to: \(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v _{1} + \alpha _{2} \cdot v _{2}+ \alpha _{3} \cdot v _{3} =0}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1} \cdot v _{1} + \alpha _{2} \cdot v _{2}+ \alpha _{3} \cdot v _{3} =0 \Leftrightarrow \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0}\)
Więc w tym zadaniu wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \alpha_1(v_1+v_2)+\alpha_2(v_2+v_3)+\alpha_3(v_1+v_3)=\\=(\alpha_1+\alpha_3)v_1+(\alpha_1+\alpha_2)v_2+(\alpha_2+\alpha_3)v_3}\)
i rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha_1+\alpha_3=0 \\\alpha_1+\alpha_2=0 \\\alpha_2+\alpha_3=0 \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 19 kwie 2015, o 15:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Re: Wektory liniowo niezależne
Dzięki a to prawda co napisałem ? "jeśli układ będzie tożsamościowy to nie są liniowo niezależne, a jeśli jedynym rozwiązaniem będzie 0 to będą liniowo niezależne"
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wektory liniowo niezależne
Tak, to prawda.mark929 pisze:Dzięki a to prawda co napisałem ? "jeśli układ będzie tożsamościowy to nie są liniowo niezależne, a jeśli jedynym rozwiązaniem będzie 0 to będą liniowo niezależne"