Macierze zmiany baz

[Hendra]

Witam!
Mam dane trzy bazy w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{K} = \mathbb{R} \vee \mathbb{C}}\):
\(\displaystyle{ A = \{v_1,...,v_n\}}\),
\(\displaystyle{ B = \{w_1,...,w_n\}}\),
\(\displaystyle{ C = \{u_1,...,u_n\}}\).
Mam też dane dwie macierze przejścia \(\displaystyle{ P}\) z bazy \(\displaystyle{ A}\) do bazy \(\displaystyle{ B}\) i macierz \(\displaystyle{ Q}\), która jest macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do bazy \(\displaystyle{ C}\).
Tezą jest, że macierz \(\displaystyle{ PQ}\) jest macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ A}\) do bazy \(\displaystyle{ C}\).

Zaczynam następująco:
1) wybieram \(\displaystyle{ v: v \in V}\),
2) wiemy, że \(\displaystyle{ P[v]_A = [v]_B}\) oraz \(\displaystyle{ Q[v]_B = [v]_C}\),
3) wstawiam w drugiej równości \(\displaystyle{ [v]_B \rightarrow P[v]_A}\),
4) otrzymuję: \(\displaystyle{ QP[v]_A = [v]_C}\).
Więc otrzymałem "przestawiony iloczyn" do tego w tezie.
Problem jest w zadaniu, czy moje rozumowanie jest błędne?

[jutrvy]

Macierze odpowiadają przekształceniom liniowym, a mnożenie macierzy składaniom tych przekształceń, jako funkcji.

Twoje rozumowanie jest jak najbardziej poprawne, pozdrawiam

[krl]

@Hendra: W swoim rozwiązaniu mylisz macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ A}\) do bazy \(\displaystyle{ B}\) z macierzą przejścia od współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ A}\) do współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ B}\).

[Hendra]

@Hendra: W swoim rozwiązaniu mylisz macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ A}\) do bazy \(\displaystyle{ B}\) z macierzą przejścia od współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ A}\) do współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ B}\).

Tego się właśnie obawiałem.
Czy mógłbym prosić o większe przybliżenie tematu i przykład jak powinien wyglądać poprawny zapis?

[krl]

Przybliżenie tematu: zacznij od znalezienia definicji macierzy przejścia od bazy do bazy (wskazówka: google, wikipedia).
Zapis: Twój zapis jest poprawny, tyle że dotyczy macierzy przejścia od współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ A}\) do współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ B}\).
To jest naprawdę proste zadanie, gdy poznasz definicję, na pewno dasz sobie radę.

[Hendra]

Przybliżenie tematu: zacznij od znalezienia definicji macierzy przejścia od bazy do bazy (wskazówka: google, wikipedia).
Zapis: Twój zapis jest poprawny, tyle że dotyczy macierzy przejścia od współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ A}\) do współrzędnych w bazie \(\displaystyle{ B}\).
To jest naprawdę proste zadanie, gdy poznasz definicję, na pewno dasz sobie radę.

Udało mi się znaleźć, że faktycznie użyłem zapisu odnoszącego się do współrzędnych wektora w danej bazie, zapisanych w kolumnach.
Niestety nie wiem jak przejść na zapis wektorowy. Bardzo prosiłbym o uściślenie

[krl]

Widzę, że udało Ci się zrozumieć i powtórzyć w swoim poście drugie zdanie z mojego postu. Teraz skup się na pierwszym zdaniu, tym o samodzielnym znalezieniu definicji. Powodzenia.