różnice dzielone przykład

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
adam4990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 6 kwie 2017, o 08:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

różnice dzielone przykład

Post autor: adam4990 »

Udowodnij, że dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^{n}}\) i dla dowolnych punktów \(\displaystyle{ x_{i}}\)

Zachodzi: \(\displaystyle{ f[x_{0}, x_{1},..., x_{k}]= \begin{cases} 0& \mbox{dla}\ k \ge n+1 \\ 1& \mbox{dla}\ k=n \\ x_{0}+...+ x_{k}& \mbox{dla}\ k=n-1 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 24 maja 2017, o 07:47 przez yorgin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
szw1710

różnice dzielone przykład

Post autor: szw1710 »

Jeśli wykażesz środkową równość (z jedynką), to pierwsza wynika z niej trywialnie, bo z definicji rekurencyjnej w liczniku mamy różnicę jedynek, czyli zero.

Jeśli wykażemy ostatnią linię (tam ma być \(\displaystyle{ x_1+dots+x_{n-1}}\)), to środkowa też z niej natychmiast wynika, bo z definicji rekurencyjnej mamy w liczniku i mianowniku to samo.

Pozostaje więc dowód trzeciej linii, tzn. \(\displaystyle{ f[x_0,x_1,dots,x_{n-1}]=x_0+x_1+dots+x_{n-1}}\). Potrafisz to zrobić? Można by próbować wzorem wyznacznikowym albo z definicji rekurencyjnej zaprzęgając w to wzór na różnicę dzieloną iloczynu i prowadząc rozumowanie indukcyjne. Można też wspomóc się wzorem interpolacyjnym Newtona. Mianowicie wielomian \(\displaystyle{ x_n}\) interpoluje sam siebie na węzłach \(\displaystyle{ 0,x_0,x_1,dots,x_{n-1}}\). Koniecznie musimy mieć \(\displaystyle{ n}\) tych węzłów, dlatego dopisuję zero.

Zobacz tu: 269342.htm 269340.htm 269333.htm
adam4990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 6 kwie 2017, o 08:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

różnice dzielone przykład

Post autor: adam4990 »

Właśnie udało mi się wpaść na \(\displaystyle{ 1)}\) i \(\displaystyle{ 2)}\), ale nie umiem \(\displaystyle{ 3)}\).

Właśnie próbowałem z rekurencyjnej definicji, ale nie umiałem tego rozwikłać. Strasznie dużo indeksów się pojawiało i ciężko było to ogarnąć.

Nie rozumiem tego sposobu z wielomianem interpolacyjnym.

Może tą metodę z rekurencją można jakoś ładnie i szybko rozwiązać?
szw1710

różnice dzielone przykład

Post autor: szw1710 »

Jest też interpretacja różnicy dzielonej jako współczynnika wiodącego pewnego wielomianu. Wynika to właśnie ze wzoru Newtona. Zobacz na mój wykład. Wynika z niego (tam jest przesunięcie o \(\displaystyle{ 1}\) w stosunku do tego, czego nam tu trzeba), że \(\displaystyle{ f[x_0,x_1,\dots,x_{n-1}]}\) jest współczynnikiem wiodącym wielomianu rzędu \(\displaystyle{ n-1}\) interpolującego \(\displaystyle{ f}\) w węzłach \(\displaystyle{ x_0,\dots,x_{n-1}}\). Tak więc musimy zainterpolować wielomian \(\displaystyle{ x^n}\) w węzłach \(\displaystyle{ x_0,\dots,x_{n-1}}\) wielomianem rzędu \(\displaystyle{ n-1}\). Jego współczynnik wiodący (czyli przy potędze \(\displaystyle{ n-1}\)) będzie różnicą której szukamy.

Kiedyś coś podobnego wymyśliłem na Stack Exchange. Spróbuję znaleźć.

Znalazłem. Inny kontekst, ale dowodzi też co chcemy. ... 94#2205494

Niech \(\displaystyle{ w(x)=x^n-(x-x_0)\cdot\ldots\cdot(x-x_{n-1}).}\) On właśnie ma stopień \(\displaystyle{ n-1}\) i interpoluje \(\displaystyle{ x^n}\) w tych węzłach. Więc wystarczy znaleźć jego współczynnik wiodący i jest po sprawie. A on jest właśnie taki jak ma być.

Dałem gotowca z paru powodów. Różnice dzielone są ważne w analizie numerycznej i trzeba o nich wiedzieć znacznie więcej niż tylko wzór rekurencyjny, stąd podałem Ci tę interpretację z wielomianem interpolacyjnym. Ponadto to rozwiązanie zwyczajnie mi się podoba.
adam4990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 6 kwie 2017, o 08:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

różnice dzielone przykład

Post autor: adam4990 »

Bardzo dziękuję!
Wszystko jest dla mnie zrozumiałe i klarowne
szw1710

różnice dzielone przykład

Post autor: szw1710 »

Cieszę się. Te różnice to ważne narzędzie w mojej pracy naukowej.
zelazny8128
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 23 maja 2017, o 19:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 1 raz

różnice dzielone przykład

Post autor: zelazny8128 »

Jaki jest wzór na różnicę dzieloną iloczynu?
szw1710

różnice dzielone przykład

Post autor: szw1710 »

Można go łatwo wyprowadzić. Jest też w książce DeBoora A practical guide to splines. Jest bardzo podobny do wzoru na pochodną iloczynu.
ODPOWIEDZ