Zbadać diagonalizowalność macierzy w zależności od parametru

[tangerine11]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4a&0&3a\\-1&5a^{2}&3\\3a&0&-4a\end{bmatrix}}\)

Obliczam wielomian charakterystyczny i wartości własne, kolejno:
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=5a^{2} \\
\lambda_{2}=5a \\
\lambda_{3}=-5a}\)

I na tej podstawie przyrównując kolejno wychodzi mi, że dla \(\displaystyle{ a \in R \setminus \ \left\{ -1,0,1\right\}}\) mam n różnych wartości czyli warunek wystarczający dla diagonalizacji.
Dla pozostałych a rozpatrzyć osobno przypadki.

Dobrze myślę, czy gdzieś jest błąd?

PS: wychodzi inaczej, gdy podstawiam wprost do macierzy
1) \(\displaystyle{ \lambda_{1}=5a^{2}}\)
2) \(\displaystyle{ \lambda_{2}=5a}\)
3) ...

Gdzie jest błąd?

[Pakro]

Dobrze myslisz. Dla pozostalych musisz wyliczyc podprzestrzenie własne i sprawdzic ich wymiary. Wymiar musi sie równac krotnosci danego pierwiastka. Nie rozumiem o co chodzi z tym podstawieniem

[tangerine11]

Właśnie tez mi się wydawało że wyjdzie i że nic dodać nic ująć (rozumiem te krotności) i sobie tam policzyłam jak \(\displaystyle{ a=1}\) zachodzi, dla \(\displaystyle{ a=0}\) nie, dla \(\displaystyle{ a=-1}\) już nie liczyłam.

Znalazłam jednak inny sposób (nie robiony przeze mnie) i w momencie obliczenia lambd podstawia te wartości i ma macierz z parametrami a i liczy schodkowo żeby się wymiary zgadzały i o ile:
1) \(\displaystyle{ \lambda=5a \Rightarrow a \neq 0 , a \neq 1}\)
2) \(\displaystyle{ \lambda=-5a \Rightarrow a \neq 0}\)

to
3) \(\displaystyle{ \lambda=-5^{2} \Rightarrow a \neq \frac{1}{5} , a \neq 0, a \neq 1}\) i ta rozbieżność mnie niepokoi