suma kwadratów długości rzutów prostopadłych = 1

[xdas123]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \RR}\), a \(\displaystyle{ \left\langle ; \right\rangle}\) będzie iloczynem skalarnym na tej przestrzeni. Niech
\(\displaystyle{ B = \{b_1, . . . , b_n\}}\) będzie bazą ortnormalną \(\displaystyle{ V}\), a \(\displaystyle{ F : V \rightarrow V}\) rzutem prostopadłym na podprzestrzeń jednowymiarową \(\displaystyle{ W \le V.}\)
Pokaż, że suma kwadratów długości rzutów prostopadłych wektorów z \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ W}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\), tj.:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\left| \left| F _{i} \right| \right| ^{2} =1}\)
Wskazówka: Wyraź rzut przez bazę ortonormalną \(\displaystyle{ W}\).

Wiec tak wiem, ze \(\displaystyle{ B}\) jest ortonormalna wiec \(\displaystyle{ b_{n}}\) ma dlugosc \(\displaystyle{ 1}\) dla kazdego \(\displaystyle{ n}\).
Wzor mozemy sobie rozpisac tak:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\left| \left| F _{i} \right| \right| ^{2} =\left| \left| F _{1} \right| \right| ^{2}+\left| \left| F _{2} \right| \right| ^{2}+..+\left| \left| F _{n} \right| \right| ^{2}}\)
Czy moze to dalej zapisac tak? Dlatego, ze \(\displaystyle{ b_{n}}\) ma dlugosc \(\displaystyle{ 1}\) a nastepnie znowu chcemy zortonormalizować to
\(\displaystyle{ \left| \left| F _{1} \right| \right| ^{2}+\left| \left| F _{2} \right| \right| ^{2}+..+\left| \left| F _{n} \right| \right| ^{2} = \frac{1}{n} +\frac{1}{n}+.. +\frac{1}{n} = n \cdot \frac{1}{n} =1}\)

Czy to jest poprawnie zrobione, bo mam w sumie wątpliwość.