Mamy \(\displaystyle{ P}\) oraz \(\displaystyle{ Q}\) podprzestrzenie \(\displaystyle{ V}\). Jeśli \(\displaystyle{ V}\) ma wymiar skończony to zachodzi wzór \(\displaystyle{ dim (P+Q)=dim P + dim Q - dim (P \cap Q)}\).
Mam pewien problem ze zrozumieniem dowodu.
Pokazałem, że \(\displaystyle{ P+Q}\) jest podprzestrzenią.
Teraz:
Mamy bazę \(\displaystyle{ u_1...u_k}\) podprzestrzeni \(\displaystyle{ P \cap Q.}\)
\(\displaystyle{ P \cap Q \subset P}\) zatem rozszerzamy bazę \(\displaystyle{ v_1...v_n,u_1...u_k}\) i mamy bazę \(\displaystyle{ P}\) .
\(\displaystyle{ P \cap Q \subset Q}\) zatem rozszerzamy bazę \(\displaystyle{ u_1...u_k,w_1...w_m}\) i mamy bazę \(\displaystyle{ Q}\).
Aby zakończyć dowód należy pokazać, że \(\displaystyle{ v_1...v_n,u_1...u_k,w_1....w_m}\) jest bazą \(\displaystyle{ P+Q}\).
Bo wtedy mamy z wymiarów : \(\displaystyle{ n+k+m=n+k+m-k+k}\).
Z generowaniem nie mam problemu. Mam problem z liniową niezależnością.
Zapiszmy \(\displaystyle{ \sum a_j v_j + \sum b_j u_j + \sum c_j w_j=0}\). Gdzie :
\(\displaystyle{ \sum a_j v_j \in P}\) oraz \(\displaystyle{ \sum b_j u_j + \sum c_j w_j \in Q}\). Możemy wziąć inaczej ale wtedy dowód będzie symetryczny.
Teraz mamy przejścia których nie rozumiem:
\(\displaystyle{ \sum a_j v_j=\sum d_j u_j}\)
\(\displaystyle{ \sum a_j v_j + \sum -(d_j u_j)=0 \Rightarrow a_j =0 \ \forall j}\)
z symetrii \(\displaystyle{ c_j=0}\) oraz\(\displaystyle{ b_j=0.}\).
Czym jest \(\displaystyle{ \sum d_j u_j}\)?