Wyznacznik macierzy nie-kwadratowej

[synthesizin]

Witajcie. Ponoć z macierzy nie-kwadratowej nie można wyznaczyć wyznacznika (masło maślane).

Ale jeśli mam macierz nie-kwadratową i za pomocą operacji elementarnych jak mnożenie przez liczbę wierszy / kolumn i odejmowanie / dodawanie ich do siebie (operacje elementarne), to czy mogę wyzerować np. wiersz i wykreślić go tak, że powstanie macierz kwadratowa (jak np. w równaniach liniowych Gaußa)? I wtedy wyznaczyć det?

Albo wyjść z założenia regułki, że "jeśli jeden wiersz/kolumna składa się z samych zer to wtedy wyznacznik=0"?


Czy przekombinowałam?

[pawlo392]

Wyznacznik definiuje się jedynie dla macierzy kwadratowych.

[synthesizin]

Gdy sprowadzę nie-kwadratową do kwadratowej to co wtedy?

[pawlo392]

Chcesz liczyć rząd macierzy, tak?

[synthesizin]

Nie, chciałabym wyliczyć wyznacznik z macierzy niekwadratowej sprowadzonej do kwadratowej za pomocą operacji elementarnych. Można tak zrobić?

[pawlo392]

Jeśli mamy macierz siedem na sześć i widzisz, że siódma kolumna to dwa razy szósta i sobie wyrzucisz tę kolumnę i masz macierz sześć na sześć i dla ćwiczenia liczysz wyznacznik tej macierzy to jest to wyznacznik TEJ macierzy. Żadnej niekwadratowej. Możesz wrzucić sobie dwie kolumny i jeden wiersz ( dowolne ) i policzyć sobie dla ćwiczenia wyznacznik macierzy pięć na pięć. Chociaż nie ma to najmniejszego sensu.
Nie ma czegoś takiego jak wyznacznik dla macierzy niekwadratowej i koniec.
To o czym mówisz stosuje się licząc rząd macierzy. Ale tam nie liczysz wyznacznika macierzy niekwadratowej.

[Jan Kraszewski]

Nie, chciałabym wyliczyć wyznacznik z macierzy niekwadratowej sprowadzonej do kwadratowej za pomocą operacji elementarnych. Można tak zrobić?

Operacje elementarne nie zmieniają rozmiaru macierzy, więc macierzy niekwadratowej do kwadratowej na bank nie sprowadzisz.

JK

[leg14]

Jan Kraszewski, chyba chodziłoo to, że po wykonaniu operacji elementarnych wykreslamy zerowe wiersze, otrzymując macierz kwadratową. (abstrahując od tego, że coś takiego się uda w neiwielu przypadkach)
synthesizin, możesz próbować jakoś sobie definiować pseudowyznacznik dla dowolnej macierzy - pytanie po co? Będzie miał same trywialne własności.

[a4karo]

Jan Kraszewski, chyba chodziłoo to, że po wykonaniu operacji elementarnych wykreslamy zerowe wiersze, otrzymując macierz kwadratową. (abstrahując od tego, że coś takiego się uda w neiwielu przypadkach)

To sie akurat uda zawsze

Operacja, którą próbujesz stworzyć szybko doprowadziłąby do paranoi:
Zgodzisz sie ,że \(\displaystyle{ \det\begin{bmatrix}2&2\\0&0\end{bmatrix}=0}\). Skoro więc wolno usuwac zerowe wiersze/kolumny i wykonywac operacje elementarne, to jedziemy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&2\\0&0\end{bmatrix}\approx \begin{bmatrix}2&2\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}2&0\end{bmatrix}\approx \begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}\)
a wyznacznik tej ostatniej to \(\displaystyle{ 2}\)
Zatem \(\displaystyle{ 2=0}\)