Rozwiązalność układu równań w zależności od parametru

[karpiuch]

Witam.

Dostałem zadanie: "Przedyskutuj rozwiązalność układu równań w zależności od parametru p", macierz układu wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&p&1&1\\2&1&1&p\\1&1&p&p^{2}\end{bmatrix}}\) gdzie ostatnia kolumna to wyrazy wolne.
No i teraz jak rozstrzygnąć kiedy układ jest oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny? Rozpatrywać to na podstawie rzędów macierzy i macierzy rozszerzonej? Czy jest na to jakiś inny sposób?

[Dreeze]

Tak, najprościej zastosować twierdzenie Kroneckera-Capellego o rzędzie.

[karpiuch]

No dobrze, ale dalej nie wiem jak to zastosować przy parametrach.
Mam pierw policzyć \(\displaystyle{ detA}\), a potem wyznaczniki dwóch minorów \(\displaystyle{ 3x3}\) macierzy rozszerzonej? Czy jak inaczej sprawdzić rząd macierzy?

[Dreeze]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A}\) macierz główną,

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&p&1\\2&1&1\\1&1&p\end{bmatrix}}\).

Przez \(\displaystyle{ U}\) macierz uzupełnioną,

\(\displaystyle{ U=\left[\begin{array}{ccc} 1&p&1\\2&1&1\\1&1&p\end{array}\left|\begin{array}{c}1\\p\\p^2\end{array} \right]}\).

Najpierw policz \(\displaystyle{ \det A}\), dla tych wartości parametru \(\displaystyle{ p}\), dla których wyznacznik jest niezerowy, układ równań będzie miał dokładnie \(\displaystyle{ 1}\) rozwiązanie.

Dla pozostałych wartości \(\displaystyle{ p}\) policz rząd zarówno \(\displaystyle{ A}\) jak i \(\displaystyle{ U}\), a wtedy:

1. Dla tych wartości \(\displaystyle{ p}\), dla których \(\displaystyle{ rz \ A \neq rz \ U}\) układ jest sprzeczny.
2. Gdy \(\displaystyle{ rz \ A = rz \ U < 3}\), to mamy nieskończenie wiele rozwiązań.

[karpiuch]

No dobrze, policzyłem \(\displaystyle{ detA = -2p^{2}+2p}\), a więc układ będzie miał 1 rozwiązanie dla \(\displaystyle{ 2p(-p+1) \neq 0}\), a więc \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0,1\right\}}\), tak?
Natomiast największy problem mam z policzeniem rzędów tych macierzy.. Jest jakiś łatwiejszy sposób niż sprawdzanie czy minory są niezerowe?

[Dreeze]

miał 1 rozwiązanie dla \(\displaystyle{ 2p(-p+1) \neq 0}\), a więc \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0,1\right\}}\), tak?

Tak, z tym, że nie \(\displaystyle{ x}\), lecz \(\displaystyle{ p}\).

Natomiast największy problem mam z policzeniem rzędów tych macierzy.. Jest jakiś łatwiejszy sposób niż sprawdzanie czy minory są niezerowe?

Wystarczy, że rozważymy dwa przypadki, bo nie wiemy jedynie co dzieje się dla \(\displaystyle{ p\in \{0,1\}}\).

Pierwszym sposobem jest wyliczenie wprost rozwiązania osobno dla tych wartości.
Jeśli nie chcesz otrzymywać rozwiązania, to trzeba policzyć rzędy i niekoniecznie poprzez szukanie największego niezerowego minora, np. wykonując elementarne działania na wierszach.

Policzę te rzędy dla jednego przypadku, krok po kroku.

1. \(\displaystyle{ p=0}\)

\(\displaystyle{ rz \ A = rz \begin{bmatrix} 1&0&1\\2&1&1\\1&1&0\end{bmatrix} = rz \begin{bmatrix} 1&0&1\\0&1&-1\\0&1&-1\end{bmatrix}= 1 + rz \begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix} = 1+rz\begin{bmatrix}1&-1\\0&0\end{bmatrix}=\\= 1 + rz \begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix} = 2.}\)

\(\displaystyle{ rz \ U = rz \ \left[\begin{array}{ccc} 1&0&1\\2&1&1\\1&1&0\end{array}\left|\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array} \right]= 1+ rz \begin{bmatrix}2&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}= 2+ rz \begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix} = 3.}\)

A stąd wniosek, że dla \(\displaystyle{ p=0}\), skoro \(\displaystyle{ rz \ A \neq rz \ U}\), układ jest sprzeczny.

[karpiuch]

No dobrze, teraz już rozumiem.. No, ale czysto hipotetycznie co by się stało gdyby wyszło tak, że np. musielibyśmy to sprawdzać dla np. \(\displaystyle{ p \in \left( 0,5\right)}\) czyli dla nieskończonej ilości liczb?

[Dreeze]

Tak czysto hipotetycznie, taka sytuacja nie powinna mieć miejsca, zauważ, że wyznacznik jest w postaci wielomianu, a my szukamy jego miejsc zerowych.

[karpiuch]

Czyli po prostu sprowadza się to do postawienia tych "niepewnych" wartości parametru, tak? To znacznie ułatwia sprawę... Dziękuję

[Dreeze]

Tak, prościej jest, zamiast sprawdzania rzędów, wyznaczenie niewiadomych, gdy będzie sprzeczność, otrzymasz sprzeczność (np. w postaci sprzecznej równości \(\displaystyle{ 0=1}\)), a gdy będzie nieskończona ilość rozwiązań - co najmniej jedna z niewiadomych będzie parametrem.

[karpiuch]

Jednak zapytam jeszcze pod jakim hasłem można poczytać o m.in. tym sposobie wyznaczania rzędu (czyli ucinanie tych kolumn i wierszy).

[Dreeze]

Nie jestem pewien, być może po wpisaniu "rząd macierzy e-trapez" otrzymasz odpowiedź.
Z definicji, rząd jest maksymalną liczbą liniowo niezależnych wierszy/kolumn, stąd moje sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej, gdy w którymś wierszu/kolumnie jest tylko jeden element różny od zera, to wykreślamy ten rząd i kolumnę, na których przecięciu znajduje się niezerowy element, równocześnie dodając \(\displaystyle{ 1}\) do rzędu (czyli wykreśliliśmy wektory liniowo niezależne i dodaliśmy je do rzędu). Gdy któryś z rzędów/kolumn składa się tylko i wyłącznie z zer, to wykreślamy, nie dodając przy tym rzędu, bo wektor zerowy jest wektorem liniowo zależnym z każdym innym.

PS: Nie musisz nic wykreślać, ja tak robię ponieważ jest to dla mnie bardziej czytelne. Wystarczy sprowadzić macierz do postaci schodkowej i policzyć schodki, których ilość jest rzędem macierzy.

[karpiuch]

O, teraz już całkowicie pojąłem.

Jednak co by się stało gdyby np. wyznacznik macierzy głównej wyszedł bez parametru (np. równy \(\displaystyle{ 5}\))
Oznaczałoby to, że układ równań jest określony dla \(\displaystyle{ p in mathbb{R}}\)? Bo znalazłem tu na forum jeden taki przykład: 176484.htm gdzie wyznacznik wyszedł mi 1, a tutaj mimo to jakieś wyniki powychodziły.

[Dreeze]

znalazłem tu na forum jeden taki przykład: 176484.htm gdzie wyznacznik wyszedł mi 1, a tutaj mimo to jakieś wyniki powychodziły.

Gdyby wyznacznik nie był zależny od parametru \(\displaystyle{ p}\) i jego wartość była niezerowa, to układ miałby dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego \(\displaystyle{ p in RR}\).

[karpiuch]

No tak, źle na to popatrzyłem.. Gdyby trzeba było wyliczyć wartości niewiadomych dla jednego rozwiązania to trzeba doprowadzić metodą Gaussa do \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0\\ 0&0&1 \\ \end{array}\right]}\)?