Rozwiązywanie układów równań macierzowo

[karpiuch]

Witam.
Na zajęciach rozwiązywaliśmy układy równań, ale nie mogę nigdzie doszukać się co to za metoda (wygląda podobnie do Gaussa, ale to chyba nie to, a chcę gdzieś o tym poczytać).

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y+z-2s+t=0\\3x+4y-z+s+3t=1\\x-8y+5z-9s+t=-1 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&-2&1&0\\3&4&-1&1&3&1\\1&-8&5&-9&1&-1\end{bmatrix}
\xrightarrow{w_{2}-3w_{1} \ w_{3} -w_{1}}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&-2&1&0\\0&7&-4&7&0&1\\0&-7&4&-7&0&0\end{bmatrix} \xrightarrow{w_{3}\simw_{2}}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&-2&1&0\\0&7&-4&7&0&1 \end{bmatrix}\xrightarrow{w_{2} \cdot \frac{1}{7}}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&1&-2&1&0\\0&1&-\frac{4}{7}&1&0&\frac{1}{7}\end{bmatrix} \xrightarrow{w_{1}+w_{2}}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&\frac{3}{7}&-1&1&\frac{1}{7}\\0&1&-\frac{4}{7}&1&0&\frac{1}{7}\end{bmatrix}}\)

i teraz dochodzi do wzięcia \(\displaystyle{ x, y}\) jako niewiadome, a \(\displaystyle{ z, s, t}\) jako parametry (jak dobrze pamiętam) i mamy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \frac{3}{7}&-1&1\\-\frac{4}{7}&1&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} z\\s\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{7}\\\frac{1}{7}\end{bmatrix}- \begin{bmatrix} \frac{3}{7}z-s+t\\-\frac{4}{7}z+s\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{1}{7}-\frac{3}{7}z + s -t\\y=\frac{1}{7}+\frac{4}{7}z-s\\z, s, t \in \mathbb{R} \end{array}}\)

Wiem tylko, że doprowadza się do sytuacji w której mamy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}}\)

Natomiast nie wiem do końca dlaczego i gdzie mogę o tym poczytać.

[Gouranga]

Szukaj pod hasłem "rozwiazywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa", tak to się nazywa.

[karpiuch]

Właśnie czytałem o metodzie eliminacji Gaussa, ale nigdzie nie znalazłem nic na temat takich przykładów jak tu, że \(\displaystyle{ x, y}\) to niewiadome, a \(\displaystyle{ z, s, t}\) to parametry, o to mi głównie chodzi kiedy wiadomo, że dane są albo niewiadomymi albo parametrami.

[Gouranga]

jak dochodzisz do tej postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc|c} 1&0&\frac{3}{7}&-1&1&\frac{1}{7} \\ 0&1&-\frac{4}{7}&1&0&\frac{1}{7}\end{array}\right]}\)

to cię doprowadza do wniosku, że:
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{7} -\frac{3}{7}z + s - z\\
y = \frac{1}{7} + \frac{4}{7}z - s\end{array}}\)
bo tak sprowadziłeś sobie macierz, żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Jeśli zmiennych masz więcej niż równań, to wiadomo, że rozwiązanie będzie w formie parametrów i to od ciebie zależy, które zmienne wyznaczasz w zależności od których. Zobacz, że jak do tego, co napisałem w formie macierzy do wiersza pierwszego dodasz wiersz drugi, to wyjdzie ci:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc|c} 1&1&-\frac{1}{7}&0&1&\frac{2}{7} \\ 0&1&-\frac{4}{7}&1&0&\frac{1}{7}\end{array}\right]}\)

co z kolei daje nam rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left{ \begin{array}{l}
t = \frac{2}{7} -x -y +\frac{1}{7}z\\
s = \frac{1}{7} - y + \frac{4}{7}z\end{array}}\)

Zależy od tego, co potrzebujesz wyznaczyć w zależności od czego, potem sprowadzasz do postaci, gdzie w jednym wierszu jedna z nich jest 1, druga 0 a w drugim wierszu odwrotnie

[karpiuch]

Dziękuję, teraz rozumiem.