Równanie krawędziowe prostej

[wojciu94]

Proszę o pomoc w zadaniu:

Znajdź równanie krawędziowe prostej przechodzącej przez rzut punktu \(\displaystyle{ P = (1,1,1)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi =2x+y-z=0}\) i prostopadłej do płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A = (1,0,0), B=( 10^{10} , 9^{9} , 0), C= ( \pi , e, 0)}\)

[kerajs]

1.
Prosta \(\displaystyle{ m}\) przechodząca przez P i prostopadła do \(\displaystyle{ \pi}\) ma równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+2t \\ y=1+t \\ z=1-t \end{cases}}\)
Rzut P na \(\displaystyle{ \pi}\) to punkt (X) przebicia tej płaszczyzny przez prostą m.
Wylicz jego współrzędne
\(\displaystyle{ \begin{cases} \begin{cases} x=1+2t \\ y=1+t \\ z=1-t \end{cases} \\ 2x+y-z=0 \end{cases}}\)
2.
Wektor kierunkowy szukanej prostej to normalny płaszczyzny ABC.
Wylicz:
\(\displaystyle{ \vec{k}= \vec{AB} \times \vec{AC}}\)
3.
Z wyników 1),2) uzyskasz równanie parametryczne / kanoniczne szukanej prostej.
4.
Równanie krawędziowe uzyskasz z wybrania dwóch płaszczyzn które zawierają prostą z 3)

[wojciu94]

Punkt \(\displaystyle{ P'}\) wyszedł mi \(\displaystyle{ (1/3, 2/3, 4/3)}\)
a wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ k = (0,0,m)}\), gdzie \(\displaystyle{ m= 10^{10}e -e -9 ^{9} \pi + 9 ^{9})}\)

To równanie parametryczne tej prostej to jest:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1/3 +0\cdot t \\ y=2/3+0\cdot t \\z=4/3+m\cdot t \end{cases}}\)

?

Jak teraz to przedstawić w postaci krawędziowej? Jakie te dwie płaszczyzny wziąć, jest jakaś reguła na to?

[kerajs]

Ponieważ jest nieskończenie wiele płaszczyzn których wspólną krawędzią jest wyliczona prosta to nie ma reguły albo ja jej nie znam.
Zwykle wybierasz dowolny punkt do prostej nie należący np M i wyliczasz wektor normalny płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{n}= \vec{k} \times \vec{P'M}}\)
oraz jej równanie zaczepiając ją w M lub P'. Analogicznie druga płaszczyzna ale wybrany dowolny punkt nie może należeć do prostej ani do obliczonej płaszczyzny.

Tu masz dużo łatwiej bo prosta jest prostopadła do XOY więc równoległa do XOZ(y=0) i YOZ (x=0). Wystarczy je przesunąć aby zawierały prostą: \(\displaystyle{ y= \frac{2}{3} \ , \ x= \frac{1}{3}}\)
Szukane równanie krawędziowe:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{1}{3} \\ y= \frac{2}{3} \end{cases}}\)

Jeśli chcesz to sprawdzić dobierz:
a) \(\displaystyle{ M= \left( \frac{1}{3},0, \frac{4}{3} \right)}\)
b) \(\displaystyle{ N= \left( 0,\frac{2}{3}, \frac{4}{3} \right)}\)
i postępuj jak napisałem na początku postu.

PS
Oczywiście możesz wybrać zupełnie inne płaszczyzny, ale każda z nich będzie kombinacją liniową płaszczyzn które wskazałem (i vice versa).