Podprzestrzenie wektorowe

[mark929]

Zbadać, które z następujących przedziałów \(\displaystyle{ R ^{2}}\) lub\(\displaystyle{ R ^{3}}\) są podprzestrzeniami wektorowymi:
a) \(\displaystyle{ A = \left\{ (x,y,z)\in R ^{3}: z=1 \right\}}\)
b) \(\displaystyle{ B = \left\{ (x,y,z)\in R ^{3}: x \cdot y=0 \right\}}\)

[leg14]

Jakies proby własne?

[Premislav]

a) wskazówka: \(\displaystyle{ (0,0,1) \in A, (1,0,1) \in A, (0,0,1)+(1,1,1) \notin A}\)
b) wskazówka: \(\displaystyle{ (1,0,0) \in B, (0,1,0) \in B, (1,0,0)+(0,1,0) \notin B}\)

[mark929]

Niestety ta wskazówka mi nic nie mówi mógłby pan rozwiązać jeden przykład i opisać krok po kroku co trzeba zrobić ?

[Premislav]

Skoro nie znasz definicji i podstawowych własności przestrzeni wektorowej, to szkoda mojego (i Twojego) czasu. Zobacz np. tu:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa

i zrozumiesz, o co chodziło w moich wskazówkach. A najlepiej przeczytaj notatki, bądź jeśli nie masz notatek, to fragment jakiegoś skryptu z algebry liniowej.

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ (x,y,z){\red =}R ^{3}}\)

no tak na pewno nie.

[mark929]

a) wskazówka: \(\displaystyle{ (0,0,1) \in A, (1,0,1) \in A, (0,0,1)+(1,1,1) \notin A}\)
b) wskazówka: \(\displaystyle{ (1,0,0) \in B, (0,1,0) \in B, (1,0,0)+(0,1,0) \notin B}\)

Trochę to trwało ale wreszcie rozumiem tą wskazówkę. Mianowice jeśli mam jakiś wektor który należy do A i mam drugi który również należy do tej przestrzeni to ich suma też musi należeć do podprzestrzeni A aby to była przestrzeń wektorowa. Dlatego A i B nie są przestrzeniami wektorowymi.
A co w przypadku jak jakiś wektor po dodaniu będzie spełniał warunek ?
Czy można "sprawdzać" podprzestrzenie tylko dodając argumenty ?

[Premislav]

Mianowice jeśli mam jakiś wektor który należy do A i mam drugi który również należy do tej przestrzeni to ich suma też musi należeć do podprzestrzeni A aby to była przestrzeń wektorowa.

Dokładnie.

Czy można "sprawdzać" podprzestrzenie tylko dodając argumenty ?

Nie, to jest tylko warunek konieczny, ale nie jest dostateczny. Generalnie jeśli dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in K}\) (ustalone ciało) i \(\displaystyle{ v_1, v_2 \in V}\) (\(\displaystyle{ V}\) jest rozważanym przez nas zbiorem) zachodzi
\(\displaystyle{ \alpha v_1+\beta v_2 \in V}\), to ta struktura jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\).

[mark929]

A gdy ten wektor (\(\displaystyle{ v _{1} +v _{2}}\) ) będzie spełniał warunek to wtedy trzeba sprawdzić dla n wektorów czy zawsze tak będzie ?