Współrzędne wektora w bazach

[mark929]

Wyznacz współrzędne wektora v w bazie B
\(\displaystyle{ v=(1,2), B=((2,1),(1,1))}\)
Proszę o pomoc w zadaniu niestety sam nie wpadnę jak zrobić taki typ zadań dodam że to ma związek z macierzami(niestety nie wiem jaki )

[blade]

Wynik oczywiście widać od razu.
\(\displaystyle{ -(2,1) + 3(1,1) = (-2 +3, -1+3) = (1,2).}\)
Zatem
\(\displaystyle{ (1,2) = [-1,3]_B}\)
Natomiast poniżej podaje rozwiązanie, po kolei...

\(\displaystyle{ \alpha \cdot (2,1) + \beta \cdot (1,1) = (1,2) \\
\begin{cases}
2\alpha + \beta = 1 \\
\alpha + \beta = 2
\end{cases}}\)

Jaki to ma związek z macierzami? A no taki, że układy równań można rozwiązywać w postaci macierzowej.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&1\\1&1&\end{array}\left|\begin{array}{c}1\\1\end{array} \right]}\)

[mark929]

blade, a co gdyby \(\displaystyle{ v = (1,2), B _{k} =(e _{1},e _{2} )}\)

[blade]

Wtedy wektor \(\displaystyle{ e_1 = (e_{11}, e_{12}), e_2 = (e_{21},e_{22})}\) i postępujesz analogicznie.
Wszystko zależy od tego jaką przestrzeń rozważamy.

[mark929]

Czyli to jest to samo co w pierwszym przypadku tylko na symbolach, a nie na liczbach ?

[blade]

Tak. Zauważ, że w pierwszym przypadku masz po prostu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} e_{11}=2 \\ e_{12}=1 \\ e_{21}=1 \\ e_{22}=1 \end{cases}}\)

[mark929]

blade, Dzięki za pomoc teraz wszystko rozumiem