Podprzestrzenie liniowe przestrzeni R

[mark929]

Sprawdzić, że następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{4}}\). Wyznaczyć bazy i wymiary tych podprzestrzeni:
a)\(\displaystyle{ X = \left\{ v \in \RR ^{4}, v =\left[ \begin{tabular}{ccc}
x _{1}\\
x _{2}\\
x _{3}\\
x _{4}\\
\end{tabular}\right] , x _{1}+x _{2} +x _{3} + x_{4}=0 \right\}}\)
b)\(\displaystyle{ X = \left\{ v \in \RR ^{4}, v =\left[ \begin{tabular}{ccc}
x _{1}\\
x _{2}\\
x _{3}\\
x _{4}\\
\end{tabular}\right] , 2x _{1}+x _{2}-2x _{3}- x_{4} =0 \right\}}\)
Umiem sprawdzić czy wektory tworzą bazę w przestrzeni liniowej ale tego typu zadań nie rozumiem, więc proszę o pomoc i co oznacza to zero z minusem ?

[Kordyt]

0 z minusem w środku oznacza wektor zerowy
A tak na poważnie w
a)\(\displaystyle{ X = \left\{ v \in \RR ^{4}, v =\left[ \begin{tabular}{ccc}
x _{1}\\
x _{2}\\
x _{3}\\
x _{4}\\
\end{tabular}\right] , x _{1}+x _{2} +x _{3} + x_{4}=\theta \right\}}\)

Masz taki zbiór wektorów z \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{4}}\) których suma współczynników sumuje się do zera, np wektor \(\displaystyle{ v=[1,3,-2,-2]}\) będzie należał do tego zbioru.
Należy wykazać że ten zbiór jest podprzestrzenią, a więc muszą być spełnione warunki podprzestrzeni liniowej (jakie ?).

Wyznaczyć bazę można tak:

\(\displaystyle{ x_1=-x _{2} -x _{3} - x_{4}}\)

To wynika z warunku tej przestrzeni. A teraz podstawiamy pod \(\displaystyle{ x_1}\) w wektorze tę równość:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{tabular}{ccc}
x _{1}\\
x _{2}\\
x _{3}\\
x _{4}\\
\end{tabular}\right] = \left[ \begin{tabular}{ccc}
-x _{2} -x _{3} - x_{4}\\
x _{2}\\
x _{3}\\
x _{4}\\
\end{tabular}\right] = \left[ \begin{tabular}{ccc}
-x _{2}\\
x _{2}\\
0\\
0\\
\end{tabular}\right] +
\left[ \begin{tabular}{ccc}
-x _{3}\\
0\\
x _{3}\\
0\\
\end{tabular}\right] +
\left[ \begin{tabular}{ccc}
- x_{4}\\
0\\
0\\
x _{4}\\
\end{tabular}\right] =

=x_2\left[ \begin{tabular}{ccc}
-1\\
1\\
0\\
0\\
\end{tabular}\right] + x_3
\left[ \begin{tabular}{ccc}
-1\\
0\\
1\\
0\\
\end{tabular}\right] + x_4
\left[ \begin{tabular}{ccc}
- 1\\
0\\
0\\
1\\
\end{tabular}\right]}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ x_2, x_3, x_4}\) są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, więc dowolny wektor z tej podprzestrzeni daje się wyrazić jako pewna kombinacja liniowa wektorów:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{tabular}{ccc}
-1\\
1\\
0\\
0\\
\end{tabular}\right], \
\left[ \begin{tabular}{ccc}
-1\\
0\\
1\\
0\\
\end{tabular}\right], \
\left[ \begin{tabular}{ccc}
- 1\\
0\\
0\\
1\\
\end{tabular}\right]}\)

A więc te wektory tworzą bazę w tej poprzestrzeni, co zapisujemy jako

\(\displaystyle{ X=\Lin\left\{ \left[ \begin{tabular}{ccc}
-1\\
1\\
0\\
0\\
\end{tabular}\right], \
\left[ \begin{tabular}{ccc}
-1\\
0\\
1\\
0\\
\end{tabular}\right], \
\left[ \begin{tabular}{ccc}
- 1\\
0\\
0\\
1\\
\end{tabular}\right] \right\}}\)

No a wymiar przestrzeni to właśnie minimalna ilość wektorów bazy tej przestrzeni.
A więc \(\displaystyle{ \dim X=3}\)

[mark929]

Nie rozumiem tylko tego dlaczego rozbijamy to na 3 macierze i dlaczego potem ten wymiar to 4, czy to dlatego że skoro tam jest jedno równanie to możemy z tego wyznaczyć tylko jedna niewiadomą i dlatego wystarczą 3 macierze bo ta 4 jest już zawarta w nich ?
I z kąt taka pewność że każdy wektor da się przedstawiać nie trzeba policzyć wyznacznika z tej macierzy ?
W przypadku gdyby było jeszcze jedno równanie to wtedy wymiar był by równy 2 ?

[Kordyt]

Nie rozumiem tylko tego dlaczego rozbijamy to na 3 macierze i dlaczego potem ten wymiar to 4, czy to dlatego że skoro tam jest jedno równanie to możemy z tego wyznaczyć tylko jedna niewiadomą i dlatego wystarczą 3 macierze bo ta 4 jest już zawarta w nich ?
I z kąt taka pewność że każdy wektor da się przedstawiać nie trzeba policzyć wyznacznika z tej macierzy ?
W przypadku gdyby było jeszcze jedno równanie to wtedy wymiar był by równy 2 ?

Rozbijamy na 3 macierze żeby rozdzielić te 3 niewiadome.
Kombinacja liniowa tych macierzy-wektorow jest wektorem reprezetujacym twoja podprzestrzen, to wynika z rownosci ktora zapisalem.
Czwarta wspolrzedna jest zalezna od tych 3 pierwszych - nie jest wiec dowolna. Dlatego do opisu tej przestrzeni wystarcza 3 wektory. Ta twoja przestrzeń jest hiperpowierzchnia w 4 wymiarowej przestrzeni.
Dla lepszego zobrazowania rozważ sobie przyklad z przestrzenia trojwymiarowa i jakas plaszczyzna 2D w tej przestrzeni (jak wyglada rownanie plaszczyzny ?)
Albo przestrzen 2 wymiarowa i jej podprzestrzen 1wymiarowa (prostą).
BTW jaki ty wyznacznich chcesz liczyć ? Macierzy 1x4 ??...