Znaleźć bazy Jordana

[Kinga_O]

Znaleźć bazy Jordana endomorfizmów i obliczyć ich macierze w tych bazach.
Przedstawić macierze tych endomorfizmów w bazie kanonicznej w postaci \(\displaystyle{ QJQ^{-1}}\)

a) \(\displaystyle{ R^2 \ni (x,y) \rightarrow (x-y,x+3x) \in R^2}\)

Bardzo proszę, żeby ktoś mi wytłumaczył jak to zrobić.

[NogaWeza]

Najpierw musisz zapisać macierz przekształcenia liniowego, a potem policzyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne. Jeśli będzie jedna wartość własna dwukrotna, to być może trzeba będzie rozszerzyć bazę o wektory główne czy tam uogólnione wektory własne, różne nazwy na to widziałem.

[Kinga_O]

Jeśli nie jest podana baza, to mam obliczyć macierz w bazie standardowej, tak? Wyszła mi wartość własna \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2=2}\) i wektory własne (1,-1), (-2,1)
Nie wiem, czy dobrze a jeśli tak, to co dalej?

[NogaWeza]

Owszem, w bazie standardowej.

Ma być \(\displaystyle{ (x-y, x+3x)}\) czy \(\displaystyle{ (x-y,x+3y)}\)? Zakładam, że to drugie, ale wolę dopytać.

Macierz przekształcenia to \(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&3\end{array}\right]}\), naturalnie \(\displaystyle{ \lambda = 2}\), wobec tego \(\displaystyle{ A - \lambda I = \left[\begin{array}{cc}-1&-1\\1&1\end{array}\right]}\). Rząd tej macierzy to \(\displaystyle{ 1}\), więc według mnie tylko jeden wektor własny uda się znaleźć.

Mogłem coś namieszać (choć nie sądzę), dlatego najlepiej będzie jeśli pokażesz swoje rachunki albo chociaż troszkę dokładniej zaprezentujesz swoje rozumowanie.

[Kinga_O]

Tak tak, ma być \(\displaystyle{ (x-y,x+3y)}\)
Znalazłam wektor własny (1,-1) i wektor drugiego rzędu ( chyba tak się nazywa) (-2,1) .
Chociaż ten drugi wektor to chyba niepotrzebnie...
W każdym razie nie wiem co teraz.

[NogaWeza]

Aha, to trzeba było napisać, że to już wektor drugiego rzędu, bo troszkę mnie to zmyliło.

Macierz przejścia \(\displaystyle{ Q}\) budujesz ustawiając wektory własne (i uogólnione) jako kolumny tej macierzy. Od lewej: najpierw wektor własny, potem wektor uogólniony (gdyby ich było więcej to wektory wyższych rzędów też wrzucasz). Macierz Jordana będzie miała na przekątnej dwójki, a nad przekątną jedynkę, bo trzeba było uzupełnić bazę o wektor drugiego rzędu.

Pozostaje sprawdzić czy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&-2\\-1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}2&1\\0&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&-2\\-1&1\end{array}\right]^{-1} =
\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&3\end{array}\right]}\)

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,-2%7D,%7B-1,1%7D%7D+*+%7B%7B2,1%7D,%7B0,2%7D%7D+*+%7B%7B1,-2%7D,%7B-1,1%7D%7D%5E%28-1%29

Jeśli jest więcej wartości własnych to w sumie bardzo podobnie się macierze przejścia i Jordana buduje, na pewno sporo przykładów znajdziesz w internecie, mi się nie chce ich podawać

[Kinga_O]

Dziękuję bardzo Mam jeszcze pytanie, pewnie głupie, w którym momencie znaleźliśmy bazę Jordana? Wiem co to macierz ale o bazie nie mam pojęcia...

[NogaWeza]

No to szukając wektorów własnych i rozszerzając je o wektory główne/uogólnione/wyższego rzędu/whatever you call them