Podać czy V jest podprzestrzenią lin. przestrzeni macierzy

[znajomyPI]

Czy zbiór V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni macierzy stopnia drugiego o wyrazach rzeczywistych.
W przypadku odpowiedzi twierdzącej wyznaczyć dwie różne bazy tej przestrzeni.
\(\displaystyle{ V = lin\left\{ \left[\begin{array}{cc}a&a+b\\b&2a+b\end{array}\right] : a, b \in \mathbb{R}, a+b=0 \right\} \subset M _{2x2}\left( \mathbb{R}\right)}\)
Nie wiem jak to ugryźć Wyjaśni ktoś na tym przykładzie?

[a4karo]

Jedyne, co musisz zrobić, to sprawdzić, że suma dwóch macierzy tej postaci też jest tej postaci, i czy iloczyn takiej macierzy przez liczbe też tak wygląda.

[znajomyPI]

Nie do końca rozumiem

[a4karo]

Przeczytaj definicję podprzestrzeni

[znajomyPI]

Zatem ten zbiór będzie czy nie będzie podprzestrzenią liniową tej macierzy?

[a4karo]

To Ty masz to rozstrzygnąć. Weź dwie macierze tej postaci i dodaj. Dopóki tego nie zrobisz, nie mamy o czym mówić.

[znajomyPI]

Hmm..
\(\displaystyle{ u \in V, v \in V}\), Czy: \(\displaystyle{ (u+v) \in V}\)?
Z warunku a+b=0 wynika, że a = -b,
\(\displaystyle{ u = \left[\begin{array}{cc}c&0\\-c&c\end{array}\right]}\),
\(\displaystyle{ v = \left[\begin{array}{cc}e&0\\-e&e\end{array}\right]}\),
\(\displaystyle{ u+v = \left[\begin{array}{cc}c+e&0\\-(c+e)&c+e\end{array}\right]}\), zatem
\(\displaystyle{ (u+v) \in V}\)
\(\displaystyle{ u \in V}\), Czy: \(\displaystyle{ \alpha u \in V}\) ? \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ u = \left[\begin{array}{cc}c&0\\-c&c\end{array}\right]}\),
\(\displaystyle{ \alpha u = \left[\begin{array}{cc} \alpha c& \alpha 0\\- \alpha c& \alpha c\end{array}\right]}\), więc \(\displaystyle{ \alpha u \in V}\). Tak?

[a4karo]

No własnie. Nie było trudne?

Dla kompletu powinienes pokazać, że \(\displaystyle{ V=\mathrm{lin}\left\{ \left[\begin{array}{cc}a&0\\-a&a\end{array}\right] : a \right\}}\)

[znajomyPI]

Owszem. A przykładowa baza \(\displaystyle{ = \left\{(1,0) , (0,1) \right\}}\) ?

[a4karo]

Nie. To jest przestrzeń macierzy, więc elementami bazy sa macierze.

Ile wymiarów ma \(\displaystyle{ V}\)?

[znajomyPI]

Jako że macierz ta jest kwadratowa i jej wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ a^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ a}\) należy do liczb rzeczywistych, w tym różnych od zera więc 2 ?

[a4karo]

Wyznacznik macierzy nijak ma się do wymiaru przestrzeni.

[znajomyPI]

Czy bazą będzie np zbiór\(\displaystyle{ \left\{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\-1&1\end{array}\right]\right\}}\) ?

[a4karo]

tak