Izomorfizm prostej afiniczjej nad ciałem o 3 elementach

[Lubicz]

Więc mamy grupę \(\displaystyle{ A_{1}(F_{3})}\) automorfizmów prostej afiniczej. Wiadomo, że rząd takeigo przekształcenia to \(\displaystyle{ 2*3=6}\). Wiem też z odpowiedzi, że jest ona izomorficzna z \(\displaystyle{ S_{3}}\), ale tego nie mogę pojąc czemu...
Ogólnie jeśli ktoś by nie wiedział jak takie przekształcenie wygląda to wygląda tak: \(\displaystyle{ f_{a,b} : x \rightarrow ax + b}\) gdzie wiadomo, że \(\displaystyle{ b}\) przechodzi cały zbiór, ale z kolei \(\displaystyle{ a}\) prawie, bo nie może być równe \(\displaystyle{ 0}\). Ktoś potrafi mi wytłumaczyć czemu akurat taki izomorfizm zachodzi?

[Cytryn]

Są dwie grupy rzędu sześć: cykliczna \(\displaystyle{ \mathbb Z_6}\) i nieprzemienna \(\displaystyle{ S_3}\).

[Lubicz]

Nie pytam ile jest grup rzędu sześć tylko czemu zachodzi izomorfizm. Umiałbyś to udowodnić?

[leg14]

Znajdz dwa elementy, które nie sa przemienne.

[Lubicz]

Znalazłem, ale co w związku z tym? Prosiłbym o jednak o wytłumaczenie konkretne.

[Cytryn]

Skoro są tylko dwie grupy rzędu sześć: jedna przemienna, jedna nieprzemienna, a Ty znalazłeś dwa elementy grupy rzędu sześć, które nie komutują: \(\displaystyle{ ab \neq ba}\), to wiesz, że masz do czynienia z \(\displaystyle{ S_3}\), tą nieprzemienną.

[Lubicz]

I z czego to wynika? Jakieś twierdzenie?

[Cytryn]

Ten temat: 267301.htm