Niezależność wektorów

[Dioer]

Proszę o możliwe rozwiązanie oraz wytłumaczenie:)
a)Jak sprawdzić czy funkcje \(\displaystyle{ \sin \Phi , \cos \Phi}\) są liniowo niezależne? Treść zadania mówi także, czy ogól kombinacji liniowych wyposażony w zwykłe operacje dodawania i mnożenia, tworzy przestrzeń liniową?
b) Czy wektory \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 1,0\right)}\) są liniowo niezależne?

[szw1710]

a) Jeśli \(\displaystyle{ a\cos\Phi+b\sin\Phi=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ \Phi}\), to co dzieje się np. dla \(\displaystyle{ \Phi=0}\)? Czy to jedyny możliwy kąt?

b) Sprawdź to z definicji liniowej niezależności. Nawiasem mówiąc, co wiemy o wektorze zerowym w badanym kontekście?

[Dioer]

a) Nie wiem czy dobrze to rozumuje, ale gdy \(\displaystyle{ \Phi=0}\) to dla \(\displaystyle{ \cos 0= 1}\), a dla \(\displaystyle{ \sin 0=0}\), czyli są dwa kąty? I to oznacza, że są niezależne?
b) Definicja mówi jeden z wektorów nie może być przedstawiona jako kombinacja drugiego, wtedy są niezależne. Czyli np wektor \(\displaystyle{ a(0,0)+b(0,1)=(0,0),}\) gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\), a \(\displaystyle{ b=0.}\) Wtedy otrzymamy, że są liniowo zależne?

[szw1710]

a) Masz z mojej wskazówki wyciągnąć coś w związku z definicją liniowej niezależności. Ja odniosłem to do poprzednika implikacji. Jaki jest następnik?

b) Tak. Wektor zerowy jest liniowo zależny z każdym układem wektorów.

[aro400]

Dla \(\displaystyle{ \phi=0}\) mamy \(\displaystyle{ a \cdot 1 + b \cdot 0 = 0}\) czyli a musi być 0.
Dla \(\displaystyle{ \phi= \frac{ \pi }{2}}\) mamy \(\displaystyle{ a \cdot 0 + b \cdot 1 = 0}\) czyli b musi być 0.
Skoro oba skalary \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) muszą być zerami to funkcje są liniowo niezależne.
Czy to jest dobry dowód?

[szw1710]

O to właśnie chodzi. Tu jest łatwo. No a pokaż, że dla \(\displaystyle{ n}\) wzajemnie różnych liczb \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n}\) funkcje \(\displaystyle{ u_i(x)=e^{a_ix}}\), gdzie \(\displaystyle{ i=1,\dots,n,}\) są liniowo niezależne. Powiedzmy, że dla \(\displaystyle{ n=2}\) i/lub \(\displaystyle{ n=3.}\)

[aro400]

Mamy \(\displaystyle{ a \cdot e^{ a_{1}x } + b \cdot e^{ a_{2}x }=0}\). Możemy zauważyć, że \(\displaystyle{ e^{ a_{i}x }}\) nigdy się nie zeruje.
Dzielimy \(\displaystyle{ a = -b \frac{e^{ a_{2}x }}{e^{ a_{1}x }}}\).
\(\displaystyle{ a}\) jest stałą więc prawa strona nie może być zależna od \(\displaystyle{ x}\), a żeby tak było to \(\displaystyle{ b}\) musi być \(\displaystyle{ 0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ b=0}\) to \(\displaystyle{ a=0}\)
Są liniowo niezależne. O to chodziło?

Natomiast wracając jeszcze do zadania z pierwszego postu, mógłbyś wyjaśnić jak sprawdzić czy ogól kombinacji liniowych wyposażony w zwykłe operacje dodawania i mnożenia, tworzy przestrzeń liniową?

[szw1710]

Ładnie udowodniłeś. No to jeszcze dla trzech funkcji wykładniczych.

Natomiast wracając jeszcze do zadania z pierwszego postu, mógłbyś wyjaśnić jak sprawdzić czy ogól kombinacji liniowych wyposażony w zwykłe operacje dodawania i mnożenia, tworzy przestrzeń liniową?

Suma kombinacji jest tez kombinacją, podobnie z mnożeniem przez skalar.

[aro400]

Po przeniesieniu stronami i dzieleniu mamy: \(\displaystyle{ a = -b \frac{e^{ a_{2}x }}{e^{ a_{1}x }} -c \frac{e^{ a_{3}x }}{e^{ a_{1}x }}}\)
Czy tu nie jest podobnie, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest stałą, to nie może zależeć od \(\displaystyle{ x}\), więc \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) są równe \(\displaystyle{ 0}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ a}\) również jest \(\displaystyle{ 0}\)?

Suma kombinacji jest tez kombinacją, podobnie z mnożeniem przez skalar.

Czyli mam pokazać dla sinusa i cosinusa, że zachodzą wszystkie aksjomaty potrzebne do przestrzeni wektorowej jak łączność, przemienność czy element naturalny?

[szw1710]

Czyli mam pokazać dla sinusa i cosinusa, że zachodzą wszystkie aksjomaty potrzebne do przestrzeni wektorowej jak łączność, przemienność czy element naturalny?

Nie masz takiej potrzeby. Wystarczy, że sprawdzisz, że rodzina funkcji postaci \(\displaystyle{ a\cos x+b\sin x}\) stanowi podprzestrzeń przestrzeni funkcji ciągłych, a do tego wystarczy jedynie pokazać, że jest ona zamknięta ze względu na dodawanie i mnożenie przez skalar.

[Cytryn]

Wskazówka (do zadania z eksponensą) - macierz Vandermonde'a.

[aro400]

\(\displaystyle{ v = a_{1} \cdot \sin \phi + b_{1} \cdot \cos \phi}\)
\(\displaystyle{ w = a_{2} \cdot \sin \phi + b_{2} \cdot \cos \phi}\)
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot \sin \phi + b_{1} \cdot \cos \phi + a_{2} \cdot \sin \phi + b_{2} \cdot \cos \phi = (a_{1} + a_{2})\cdot \sin \phi + (b_{1} + b_{2})\cdot \cos \phi}\)
I analogicznie z mnożeniem przez skalary.

Operator różniczkowania \(\displaystyle{ \frac{d^2}{dt^2}}\) dla tej przestrzeni jest operatorem liniowym, ponieważ zachodzi:
\(\displaystyle{ A( \alpha \cdot \sin \phi + \beta \cdot \cos \phi) = ( \alpha \cdot \sin \phi + \beta \cdot \cos \phi)_{''} = ( \alpha \cdot \sin \phi )_{''} + (\beta \cdot \cos \phi)_{''} = \alpha(\sin \phi)_{''} + \beta(\cos \phi)_{''} = A( \alpha \cdot \sin \phi ) + A( \beta \cdot \cos \phi)}\)

Czy to prawda?

[szw1710]

Operator różniczkowania zawsze jest liniowy. Kwestia tego jaki jest jego obraz. Istotnie, pochodne (każdego rzędu) są tej samej postaci.