rzut ortogonalny na podprzestrzen

[karol1994a]

wyznacz rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ v}\) na podprzestrzen \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ V}\), gdzie:
\(\displaystyle{ v=\left[\begin{array}{ccc}1\\2\\3\end{array}\right],W=\mbox{lin}\,\left(\left[\begin{array}{ccc}1\\0\\3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0\\1\\1\end{array}\right]\right)}\) oraz \(\displaystyle{ V=\RR^3}\)

[NogaWeza]

Z czym konkretnie jest problem? Podpowiem, że da się to zrobić z definicji jak i pewnym algorytmem, budując macierz Grama i rozwiązując układ równań na współrzędne szukanego wektora.

[karol1994a]

jesli dobrze rozumiem to maciez grama wyjdzie:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}10&3&10\\3&2&5\\10&5&14\end{array}\right]}\)
tylko jak zrobic uklad rownan, o jaki algorytm chodzi?

[NogaWeza]

No nie bardzo. Macierz Grama powinna być tutaj wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Rozwiązaniem tego układu równań z macierzą Grama nie jest zrzutowany wektor, który chcemy znaleźć, a jego współrzędne w bazie podprzestrzeni.

Łopatologicznie: w macierzy Grama znajdują się tylko iloczyny skalarne wektorów z bazy podprzestrzeni (więc będzie \(\displaystyle{ 2 \times 2}\), bo tylko \(\displaystyle{ 2}\) wektory rozpinają podprzestrzeń, na którą rzutujemy). Po prawej stronie stoją iloczyny skalarne wektora rzutowanego z wektorami z bazy podprzestrzeni.

Rozwiązaniem tego układu są współrzędne wektora w bazie podprzestrzeni.


W tym przypadku:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} w_1 \circ w_1 & w_1 \circ w_2 \\ w_2 \circ w_1 & w_2 \circ w_2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \alpha_1\\ \alpha_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} v \circ w_1 \\ v \circ w_2 \end{array}\right]}\)

liczbowo:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}10&3\\3&2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \alpha_1\\ \alpha_2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right]}\)

Rozwiążmy to, dostaniemy \(\displaystyle{ \alpha_1}\) i \(\displaystyle{ \alpha_2}\).

Ta przygoda kończy się w ten sposób: rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ v}\) na podprzestrzeń rozpinaną przez \(\displaystyle{ w_1 , w_2}\) to : \(\displaystyle{ v^* = \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2}\).

Podsumowując: rozwiązując układ z macierzą Grama wyznaczamy tylko współrzędne rzutu wektora w bazie, która rozpina podprzestrzeń, na którą to rzutujemy.

Mam nadzieję, że zbytnio nie namieszałem.

P.S. Algorytm to mocne słowo - raczej procedura postępowania. Wyznaczenie odpowiednich iloczynów skalarnych -> rozwiązanie układu równań na współczynniki -> zapisanie rzutowanego wektora jako kombinacja liniowa skalarów będących rozwiązaniem układu, oraz wektorów bazowych podprzestrzeni.

[karol1994a]

aha czyli po rozwiazaniu dalej ukladu dostajemy vektor w rzucie na ta podprzestrzen \(\displaystyle{ v^* =5/11*w_1 +91/22*w_2}\)?

[NogaWeza]

Mnie się nie chce tego sprawdzać teraz, wybacz, ale da się to sprawdzić z definicji.

Wektor \(\displaystyle{ x^*}\) należący do podprzestrzeni nazywamy rzutem wektora \(\displaystyle{ x}\) na tę podprzestrzeń, gdy \(\displaystyle{ (x - x^*)}\) jest ortogonalne do każdego wektora bazowego z tej podprzestrzeni.

[karol1994a]

Zgadza sie, serdecznie dziekuje za pomoc.

[NogaWeza]

Bardzo proszę