Przekształcenie liniowe rrzutu prostopadłego

[wojciu94]

Proszę o jakieś wskazówki w rozwiazaniu tego zadania.

Rozstrzygnij czy odwzorowanie przyporzadkowujace punktowi w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) jego rzut prostopadły
na prosta \(\displaystyle{ y = x}\) jest odzorowaniem liniowym. Jesli tak, wyznacz jego macierz w bazie standardowej \(\displaystyle{ \RR^{2}}\)

[janusz47]

Oznaczmy punkt \(\displaystyle{ A(x,y)\in R^2}\) i jego rzut na prostą o równaniu \(\displaystyle{ y = x,}\) przez \(\displaystyle{ A' (x', y').}\)

Wektory \(\displaystyle{ \vec{AA'} = [ x' - x, y '- y], \ \ \vec{OC} = [ 1- 0, 1- 0]= [ 1, 1 ]}\)

są wzajemnie prostopadłe, więc ich iloczyn skalarny

\(\displaystyle{ \vec{AA'}\cdot \vec{OC} = [ x - x', y- y']\cdot [ 1, 1 ] = x' - x + y' - y = 0}\) (1)

Proszę wykonać rysunek.

Uwzględniając w równaniu (1)

\(\displaystyle{ y' = x'}\) (2)

otrzymujemy z równań (1), (2)

\(\displaystyle{ x' = \frac{x+y}{2}, \ \ y' = \frac{x+y }{2}.}\)

Macierz przekształcenia w bazie standardowej ma postać:

\(\displaystyle{ A = \frac{1}{2}\left [\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right ]}\)

Jest to przekształcenie liniowe:

\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) = \frac{1}{2}\left[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right ] \cdot \left (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right).}\)