Jądro przekształcenia liniowego

[wojciu94]

Proszę o pomoc w następującym zadaniu:

Niech \(\displaystyle{ V}\) bedzie przestrzenia liniowa. Jadrem przekształcenia \(\displaystyle{ L : V \rightarrow V}\) nazywamy zbiór \(\displaystyle{ \{ \vec{v} \in V : L \vec{v} = \vec{0} \}}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \vec{w} \in \RR}\) i zdefiniujmy przekształcenie \(\displaystyle{ L : \RR ^{3}\rightarrow \RR ^{3}}\) wzorem \(\displaystyle{ L \vec{v} = \vec{w} \times \vec{v}}\) , gdzie \(\displaystyle{ \times}\) oznacza iloczyn wektorowy. Wyznacz jadro \(\displaystyle{ L}\).

[NogaWeza]

Znaczki znaczkami, ale jądro to po prostu te wektory, które przechodzą na zero. Kiedy iloczyn wektorowy jest zerem?

[wojciu94]

Iloczyn wektorowy jest równy 0 wtedy gdy wektory są do siebie równoległe.

[NogaWeza]

Dokładnie, dlatego też jądro tworzą wszystkie wektory równoległe do \(\displaystyle{ \mathbf{w}}\), bo ten wektor był naszym ustalonym.

A jak chcesz dokładnie znać postać wektora rozpinającego jądro - nazwijmy go \(\displaystyle{ \mathbf{v}}\), to zapisz \(\displaystyle{ (v_1 , v_2 , v_3 ) \times (w_1 , w_2 , w_3) = \mathbf{0}}\), wymnóż tak jak się to robi w iloczynie wektorowym i wylicz sobie \(\displaystyle{ v_1 , v_2 , v_3}\) w zależności od \(\displaystyle{ w_1 , w_2 , w_3}\).

[wojciu94]

To policzyłem iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ v x w}\) i wyszło mi coś takiego:

\(\displaystyle{ v_1 (w_3 - w_2) + v_2 (w_1 - w_3) + v_3 (w_2 - w_1) = 0}\)

I co z tym dalej zrobić?

[NogaWeza]

No to nie wiem jak to policzyłeś, bo mi wyszło co innego. Poza tym to co stoi po lewej tronie równania u Ciebie to nie jest wektor. Trzeba pisać porządnie, albo z przecinkami, albo stosując notację z wektorami bazowymi.
\(\displaystyle{ v \times w = (v_2 w_3 - w_2 v_3 , \quad v_3 w_1 - v_1 w_3 , \quad v_1 w_2 - w_1 v_2)}\)

Przyrównując wszystkie współrzędne tożsamościowo do zera dostaniesz, że \(\displaystyle{ v = C w}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) to jest jakaś stała. Wobec tego:
\(\displaystyle{ v_1 = C w_1 \\ v_2 = C w_2 \\ v_3 = C w_3}\)

Wstawiając do policzonego przeze mnie iloczynu możesz sprawdzić, że rzeczywiście on się wtedy zeruje, zatem bazą jądra są wektory równoległe do \(\displaystyle{ w}\).