Własności rzędu przekształcenia liniowego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Hendra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 18 sty 2015, o 23:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 3 razy

Własności rzędu przekształcenia liniowego

Post autor: Hendra »

Witajcie!
Mamy dane dwa przekształcenia liniowe \(\displaystyle{ \psi, \phi: V \rightarrow V}\), przy czym \(\displaystyle{ dimV < \infty}\). Mamy pokazać, że:
1) \(\displaystyle{ r(\psi + \phi) \le r(\psi) + r(\phi)}\)
2) \(\displaystyle{ r(\psi \circ \phi) \le r(\psi)}\)
gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest rzędem przekształcenia liniowego czyli wymiarem obrazu.
Obie nierówności są intuicyjnie jasne. Niestety nie wiem jak można udowodnić je formalnie.
Bardzo prosiłbym o pomoc
Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Własności rzędu przekształcenia liniowego

Post autor: jutrvy »

\(\displaystyle{ 1}\) Jeśli wektory \(\displaystyle{ (\varphi+\psi)(v), (\varphi+\psi)(w)}\) są lnz, to lzn są wektory
\(\displaystyle{ \varphi(v), \varphi(w), \psi(v), \psi(w)}\).

\(\displaystyle{ 2}\) Wynika to z faktu, że \(\displaystyle{ dim(\psi[V])\le dim(V)}\) (ponieważ \(\displaystyle{ r(I) = dim(V)\le r(\psi)}\)).
ODPOWIEDZ