Wielomian przyjmujący przekształcenia liniowe jako argumenty

[Hendra]

Witajcie!
Mam dane przekształcenie liniowe:
\(\displaystyle{ \phi: V \rightarrow V}\) i niech \(\displaystyle{ \phi^k}\) będzie k-krotnym złożeniem \(\displaystyle{ \phi}\) z samym sobą.
Weźmy dowodny wielomian \(\displaystyle{ P = a_nx^n + ... + a_0}\) i zdefiniujmy \(\displaystyle{ P(\phi)=a_n\phi^n + a_{n-1}\phi^{n-1}+...+a_0}\)
Należy sprawdzić czy \(\displaystyle{ P(\phi)}\) jest przekształceniem liniowym \(\displaystyle{ V}\) w siebie.

[a4karo]

No i w czym problem?

[Premislav]

To \(\displaystyle{ a_0}\) coś mi tu bruździ. Na co przejdzie wektor zerowy przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), jeśli \(\displaystyle{ a_0 \neq 0}\)?

[Hendra]

To \(\displaystyle{ a_0}\) coś mi tu bruździ. Na co przejdzie wektor zerowy przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), jeśli \(\displaystyle{ a_0 \neq 0}\)?

Ale jak możemy interpretować \(\displaystyle{ P(0)}\) jeśli argumentami mają być przekształcenia liniowe?
Ale faktycznie, wektor zerowy będzie problematyczny jeśli \(\displaystyle{ a_0 \neq 0}\)

[Premislav]

Nie jestem pewien, ale mam wrażenie, że sformułowanie zadania jest trochę kiepskie. Gdyby to interpretować tak jak Ty piszesz, to zadanie nie ma sensu, bo wtedy przekształcenie bierze sobie przekształcenia liniowe (one są elementami dziedziny) i wypluwa jakieś inne, niekoniecznie liniowe przekształcenia, więc nie ma sensu sprawdzać, czy takie odwzorowanie jest liniowym przekształceniem \(\displaystyle{ V}\) w siebie, gdyż dziedziną tego odwzorowania nie jest \(\displaystyle{ V}\).
Moim zdaniem przez zapis
\(\displaystyle{ P(\phi)}\) należałoby rozumieć złożenie wielomianu \(\displaystyle{ P}\) z przekształceniem \(\displaystyle{ \phi}\) wg konwencji z tymi k-tymi złożeniami, czyli
\(\displaystyle{ P(\phi)(v)=a_n \phi^n(v)+\dots+a_1 \phi(v)+a_0}\) dla \(\displaystyle{ v \in V}\) i \(\displaystyle{ a_i \in K}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest ciałem skalarów, nad którym rozpatrujemy przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) (ale wtedy też pytanie, jaki to ma sens, że wektor - mianowicie wektor zerowy - przechodzi na element ciała skalarów, a przecież wcale nie jest powiedziane, że w pewnym sensie \(\displaystyle{ K=V}\), np. że rozpatrujemy \(\displaystyle{ \RR}\) jako przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ \RR}\)). Ale absolutnej pewności nie mam...

[Hendra]

Nie jestem pewien, ale mam wrażenie, że sformułowanie zadania jest trochę kiepskie. Gdyby to interpretować tak jak Ty piszesz, to zadanie nie ma sensu, bo wtedy przekształcenie bierze sobie przekształcenia liniowe (one są elementami dziedziny) i wypluwa jakieś inne, niekoniecznie liniowe przekształcenia, więc nie ma sensu sprawdzać, czy takie odwzorowanie jest liniowym przekształceniem \(\displaystyle{ V}\) w siebie, gdyż dziedziną tego odwzorowania nie jest \(\displaystyle{ V}\).
Moim zdaniem przez zapis
\(\displaystyle{ P(\phi)}\) należałoby rozumieć złożenie wielomianu \(\displaystyle{ P}\) z przekształceniem \(\displaystyle{ \phi}\) wg konwencji z tymi k-tymi złożeniami, czyli
\(\displaystyle{ P(\phi)(v)=a_n \phi^n(v)+\dots+a_1 \phi(v)+a_0}\) dla \(\displaystyle{ v \in V}\) i \(\displaystyle{ a_i \in K}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest ciałem skalarów, nad którym rozpatrujemy przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) (ale wtedy też pytanie, jaki to ma sens, że wektor - mianowicie wektor zerowy - przechodzi na element ciała skalarów, a przecież wcale nie jest powiedziane, że w pewnym sensie \(\displaystyle{ K=V}\), np. że rozpatrujemy \(\displaystyle{ \RR}\) jako przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ \RR}\)). Ale absolutnej pewności nie mam...

To jest bardzo możliwe. Zadanie jest z listy więc może być nie do końca dobrze sformułowane.
Szczerze mówiąc też nie rozumiałem jak interpretować \(\displaystyle{ P(\phi)}\).
Z tą drugą interpretacją jest dużo lepiej. I faktycznie wszystko załatwia \(\displaystyle{ a_0}\). Wielomian będzie przekształceniem liniowym dla \(\displaystyle{ a_0 = 0}\), w pozostałych przypadkach nie, prawda?

[Premislav]

Zgadza się.

[a4karo]

Myślę, że to należy interpretować tak:
\(\displaystyle{ P(\varphi)(v)=\sum_{i=0}^n a_i\varphi^n(v)}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi^0=\mathrm{Id}}\)

Przy każdej innej interpretacji nie zgadzają sie obiekty (dodajemy skalar do wektora)

[Hendra]

Myślę, że to należy interpretować tak:
\(\displaystyle{ P(\varphi)(v)=\sum_{i=0}^n a_i\varphi^n(v)}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi^0=\mathrm{Id}}\)

Przy każdej innej interpretacji nie zgadzają sie obiekty (dodajemy skalar do wektora)

To prawda. Też mi się wydaje, że taka interpretacja jest poprawna.
Przy innej (mojej początkowej) po prostu to wyrażenie nie miało sensu.

[NogaWeza]

Wobec takiej interpretacji jak to zadanie skończyć?

Tak intuicyjnie to dla każdego \(\displaystyle{ k}\) przekształcenie \(\displaystyle{ \phi ^k : V \rightarrow V}\), ale żeby również \(\displaystyle{ P (\phi) : V \rightarrow V}\) to potrzebna jest domkniętość ze względu na dodawanie i mnożenie przez skalar. Wtedy po zsumowaniu dostaniemy też element z \(\displaystyle{ V}\), dobrze myślę?

Na wiki wyczytałem, że nie zawsze zakłada się domkniętość, wobec tego pewnie nie wynika ona z aksjomatów przestrzeni liniowej. Pytanie: co gdy tej domkniętości nie zakładamy? Lub co, gdy rozważamy \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), a któryś ze współczynników \(\displaystyle{ a_k}\) nie należy do tego ciała?

[krl]

@NogaWeza: Po wpisie a4karo wszystko jest jasne. Twoje wątpliwości wynikają z braku precyzji widocznego w Twoim poście.