Treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ \RR_4[*]}\). Sprawdzić, że operator \(\displaystyle{ P \in L(V,V)}\), określony wzorem
\(\displaystyle{ (Pv)(t) := v(5) + (t-5)\dot{v}(5) + \frac{1}{2}(t-5)^2\ddot{v}(5)}\)
jest operatorem rzutowym. Znaleźć takie podprzestrzenie \(\displaystyle{ V_0, V_1}\), że \(\displaystyle{ P}\) jest rzutem \(\displaystyle{ V_1}\) wzdłuż \(\displaystyle{ V_0}\).
Udało mi się pokazać, że \(\displaystyle{ P}\) jest rzutem \(\displaystyle{ (P(Pv) = Pv)}\). Teraz, wiedząc, że jeśli \(\displaystyle{ W_i = PV}\) oraz \(\displaystyle{ K_i = Ker(P)}\), to P jest rzutem \(\displaystyle{ V}\) na \(\displaystyle{ W_1}\) wzdłuż \(\displaystyle{ K_i}\) (Kostrikin) chciałem obliczyć \(\displaystyle{ K_i}\) oraz \(\displaystyle{ W_i}\).
Rozumiem, że \(\displaystyle{ v(t)}\) jest dowolnym wielomianem stopnia nie większego niż 4, zatem można go zapisać w postaci \(\displaystyle{ at^4 + bt^3 + ct^2 + dt + e}\) i korzystając z tego wyliczyć \(\displaystyle{ W_1}\) (przez podstawienie do wzoru danego w zadaniu). Aby znaleźć \(\displaystyle{ K_i}\) wynik musiałbym przyrównać do 0 i wyliczyć wartości. Problem pojawił się, gdy wyliczyłem \(\displaystyle{ Pv(t) = (6at^2 + 3bt + c)t^2 + (-8a5^3 - 3b5^2 + d ) t +(3a5^4 +4b5^3 +c5^2 + e)}\). Korzystając z Wolframa sprawdziłem pierwiastki tego równania i otrzymałem 'jakiś kosmos', wierzę więc, że gdzieś moim rozumowaniu jest błąd (szczególnie, że to tylko zadanie domowe i wierzę, że zamysł był taki, aby miało podobny poziom do poprzednich). Moja prośba : czy ktoś mógłby mi wskazać gdzie się pomyliłem, lub jak powinienem to policzyć?
Z góry dziękuję!
Edit:
Poprawiłem formatowanie.