Czy X jest poprzestrzenią liniową

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
mac18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 316
Rejestracja: 3 wrz 2013, o 19:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 23 razy

Czy X jest poprzestrzenią liniową

Post autor: mac18 »

Sprawdź czy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest poprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), jeśli:
\(\displaystyle{ V = \RR ^{2}, X = \left\{x \in \RR ^{2} : x_{1} ^{2} - x_{2} ^{2} = 0 \right\}}\)

Hej, trochę siedziałem nad tym przykładem, aż w końcu zajrzałem o odpowiedzi. A tam gość znalazł dwa wektory należące do \(\displaystyle{ X}\) ale których suma już nie należy. Da się to jakoś inaczej pokazać, nie z głowy ?
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2017, o 16:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Czy X jest poprzestrzenią liniową

Post autor: Premislav »

Przykro mi, ale nie bardzo. Generalnie w takich przykładach ja postępowałem tak:
1. Próbowałem sprawdzić, że warunki z definicji przestrzeni liniowej są spełnione.
2. Jeśli napotykałem na jakiś "opór", to sprawdzałem, czy aby nie jest łatwo wskazać kontrprzykładu na jakichś prostych elementach tego zbioru.

Nie jest to zbyt wydajne podejście, ale lepszego nie znalazłem. Tutaj akurat nie ma problemu:
widzimy, że \(\displaystyle{ (x_1, x_2) \in X \Leftrightarrow x_1^2=x_2^2 \Leftrightarrow |x_1|=|x_2|}\)
Jak sobie narysujesz w kartezjańskim układzie współrzędnych zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ (x_1,x_2) \in \RR^2: |x_1|=|x_2|\right\}}\), to otrzymasz sumę dwóch prostych:
\(\displaystyle{ x_2=x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2=-x_1}\)
Natomiast podprzestrzenie liniowe \(\displaystyle{ \RR^2}\) to:
- podprzestrzeń trywialna, złożona z samego wektora \(\displaystyle{ (0,0)}\);
-proste przechodzące przez \(\displaystyle{ 0}\) (podprzestrzenie wymiaru 1);
- cała \(\displaystyle{ \RR^2}\)
Jak widać, \(\displaystyle{ X}\) nie mieści się w tej klasyfikacji, więc nie jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^2}\). Ogólnie można zauważyć, że Twoja \(\displaystyle{ X}\) jest sumą mnogościową dwóch podprzestrzeni liniowych \(\displaystyle{ \RR^2}\): \(\displaystyle{ X_1=\left\{ (x_1, x_2): x_1=x_2\right\}}\)
oraz \(\displaystyle{ X_2=\left\{ (x_1, x_2): x_1=-x_2\right\}}\) (te oznaczenia sam wprowadziłem, to są proste przechodzące przez początek układu współrzędnych, jak widać).
Spróbuj wziąć jak najprostsze niezerowe (różne od \(\displaystyle{ (0,0)}\)) punkty \(\displaystyle{ u \in X_1, v \in X_2}\) i pokaż, że wtedy \(\displaystyle{ u+v \notin X}\).
mac18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 316
Rejestracja: 3 wrz 2013, o 19:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 23 razy

Czy X jest poprzestrzenią liniową

Post autor: mac18 »

Jak zwykle świetna odpowiedź, dzięki stary.
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2017, o 16:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ