Podprzestrzeń wielomianów

[matematykiv]

Czy zbiór \(\displaystyle{ W}\) wielomianów o współczynnikach całkowitych jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR}\)?
Wiadomo, że suma takich wielomianów dalej będzie miała współczynniki całkowite, ale czy sprawdzając warunek \(\displaystyle{ \alpha \cdot w(x) \in W}\) za \(\displaystyle{ \alpha}\) mamy wziąć skalary z \(\displaystyle{ \RR}\) czy tylko całkowite z \(\displaystyle{ W}\)?

Edit: Zarówno przestrzeń jak i podprzestrzeń jest nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), czyli skalary należą do \(\displaystyle{ \RR}\)?

[Premislav]

Edit: Zarówno przestrzeń jak i podprzestrzeń jest nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), czyli skalary należą do \(\displaystyle{ \RR}\)?

To jest pytanie, czy sprecyzowanie treści zadania?

BTW Ta treść w ogóle nie trzyma się kupy, bo zbiór wielomianów o współczynnikach całkowitych nie jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \RR}\), więc tym bardziej nie może być podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR.}\)

[matematykiv]

Wszystko rozpatruję nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) liczb rzeczywistych.

Ogólnie to chodzi mi o to, że jak sprawdzam czy coś jest podprzestrzenią to skąd mam wziąć skalary?
\(\displaystyle{ \RR[X]}\) to zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych i jest to przestrzeń liniowa.
Chcę sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ \ZZ[X]}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR[X]}\).

Suma dwóch wielomianów o współczynnikach całkowitych też jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, co natomiast z warunkiem \(\displaystyle{ \alpha \cdot z(x) \in \ZZ[X]}\)? \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do \(\displaystyle{ \RR}\) bo rozpatruję to nad ciałem liczb rzeczywistych i skalary zawsze należą do ciała i będę to miał podane w zadaniu? Czyli np \(\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{2}}\) i wtedy widać, że \(\displaystyle{ \ZZ[X]}\) nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR[X]}\)?

[Premislav]

No, zgadza się. \(\displaystyle{ \ZZ[x]}\) nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR[x]}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\), np.
\(\displaystyle{ P(x)=x \in \ZZ[x]}\), ale \(\displaystyle{ \frac 1 2P(x) \notin \ZZ[x]}\)

[matematykiv]

A czy sprawdzając czy zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych jest przestrzenią liniową to ma jakąś różnicę czy sprawdzamy wielomiany stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ k}\) czy dowolne wielomiany bez określonego najwyższego stopnia? Bo mam dwa takie podpunkty obok siebie i nie wiem jaka jest różnica poza tym, że te drugie wielomiany chyba sobie "lecą" do nieskończoności, a te pierwsze w końcu zatrzymują się na jakimś \(\displaystyle{ k}\).

To znaczy \(\displaystyle{ 1) (1,x,x^{2},x^{3},....,x^{k}),
2) (1,x,x^{2},x^{3},....)}\)


BTW jeśli mam takie zadanie: sprawdź czy zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest ppl \(\displaystyle{ V}\)
\(\displaystyle{ V=\CC^{2}, W= \{ z \in V: z_{1} + z_{2} = 0\}}\)
i nie mam nic napisane o ciele, to to w domyśle jest nad ciałem liczb rzeczywistych czy zespolonych?

[Premislav]

Co do pierwszego pytania: jeśli chodzi o techniczną stronę sprawdzania warunków z definicji przestrzeni liniowej, to właściwie nie ma różnicy.
Na drugie nie znam odpowiedzi. Nie chciałbym wprowadzać w błąd, ale moim zdaniem domyślnie należy przyjąć, że rozważamy \(\displaystyle{ \CC^2}\) jako przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ \CC.}\)
Tak czy inaczej wyjdzie, że \(\displaystyle{ W}\) to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V.}\)..