Znaleźć macierz o podanych wektorach własnych

[Benny01]

Mamy macierz:
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&a&b\\1&c&d\\1&e&f\end{bmatrix}}\)
Treść jest następująca: "Znajdź \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) takie, aby macierz \(\displaystyle{ A}\) miała następujące wektory własne \(\displaystyle{ (1,1,1),(1,0,1),(1,-1,1)}\).

Przedstawię mój sposób rozumowania.
Korzystam z tego, że \(\displaystyle{ (A- \lambda _i I) \vec{v} _i= \vec{0}}\)
Dostaje z tego trzy układy równań i otrzymuję, że \(\displaystyle{ \lambda _1=\lambda _2=\lambda _3=c}\), \(\displaystyle{ a=e=0}\), \(\displaystyle{ b=f=c-1}\), \(\displaystyle{ d=-1}\)
Podstawiam te zmienne do macierz i liczę wyznacznik \(\displaystyle{ det(A- \lambda I)}\), aby znaleźć wartości własne.
Otrzymuję, że jednym pierwiastkiem równania charakterystycznego jest \(\displaystyle{ \lambda =0}\), a drugi jest dwukrotny \(\displaystyle{ \lambda =c}\), ale z poprzednich rozważań dostałem, że wszystkie pierwiastki są równe, więc wynika z tego, że wszystkie pierwiastki są równe 0 i otrzymuję macierz
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&0&-1\\1&0&-1\\1&0&-1\end{bmatrix}}\)
Dowiedziałem się że rozwiązanie nie jest kompletne, ale nie widzę błędu w rozumowaniu.
Czy ktoś potrafi powiedzieć czy jest to ok lub wskaże co jest nie tak?

[pasman]

Dostaje z tego trzy układy równań i otrzymuję, że \(\displaystyle{ \lambda _1=\lambda _2=\lambda _3=c}\)

skąd masz że \(\displaystyle{ \lambda _2=c}\) ?

Edit: wg Wolframa rozwiązanie to

\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&0&b\\1&b+1&-1\\1&0&b\end{bmatrix}}\)

[Benny01]

\(\displaystyle{ 1- \lambda _2 +b=0}\) oraz \(\displaystyle{ 1- \lambda _3 -a+b=0}\), ale \(\displaystyle{ a=0}\), więc \(\displaystyle{ \lambda _2 = \lambda _3}\)

[pasman]

Podstawiam te zmienne do macierz i liczę wyznacznik \(\displaystyle{ det(A- \lambda I)}\), aby znaleźć wartości własne.
Otrzymuję, że jednym pierwiastkiem równania charakterystycznego jest \(\displaystyle{ \lambda =0}\), a drugi jest dwukrotny \(\displaystyle{ \lambda =c}\), ale z poprzednich rozważań dostałem, że wszystkie pierwiastki są równe, więc wynika z tego, że wszystkie pierwiastki są równe 0 i otrzymuję macierz

wydaje mi się że tutaj jest błąd. Wektory własne są liniowo zależne.
Można je skonstruować bez użycia pierwiastka \(\displaystyle{ \lambda =0}\).

ale może ktoś wie jak to lepiej opisać.

[Benny01]

Wychodzi, że nadal wiem tyle co przed napisaniem tego posta.

[pasman]

Proponuję następujące podejście:

Mamy macierz:
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&a&b\\1&c&d\\1&e&f\end{bmatrix}}\)
Treść jest następująca: "Znajdź \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) takie, aby macierz \(\displaystyle{ A}\) miała następujące wektory własne \(\displaystyle{ (1,1,1),(1,0,1),(1,-1,1)}\).

Przedstawię mój sposób rozumowania.
Korzystam z tego, że \(\displaystyle{ (A- \lambda _i I) \vec{v} _i= \vec{0}}\)
Dostaje z tego trzy układy równań i otrzymuję, że \(\displaystyle{ a=e=0}\), \(\displaystyle{ b=f=c-1}\), \(\displaystyle{ d=-1}\)

i tutaj dodajesz że ponieważ jeden wektor własny jest kombinacją dwóch pozostałych,
rozwiązaniem są macierze osobliwe zależne od jednego parametru.
Jako parametr można wybrać b, wtedy będą to macierze:

\(\displaystyle{ A(b)= \begin{bmatrix} 1&0&b\\1&b+1&-1\\1&0&b\end{bmatrix}}\)

[Benny01]

Ok, ale nadal nie wiem czemu moje końcowe rozumowanie jest błędne.
Możesz jakoś rozwinąć tę myśl:

wydaje mi się że tutaj jest błąd. Wektory własne są liniowo zależne.
Można je skonstruować bez użycia pierwiastka \(\displaystyle{ \lambda =0}\).

[pasman]

Chodzi o to że zapis \(\displaystyle{ A \vec{v}_i = \lambda _i \vec{v} _i}\) oznacza w tym przypadku tylko dwa niezależne równania.

Jeżeli \(\displaystyle{ \vec{v}_3 = k \vec{v} _1+l \vec{v} _2}\)

\(\displaystyle{ A \vec{v}_3= A (k \vec{v}_1+ l \vec{v}_2) = k \lambda _1 \vec{v} _1+l \lambda _2 \vec{v} _2}\)

Ponieważ w tym przypadku \(\displaystyle{ \lambda _1 =\lambda _2 =c}\), to

\(\displaystyle{ A \vec{v}_3=A (k \vec{v}_1+ l \vec{v}_2) = c k \vec{v} _1+ c l \vec{v} _2 = c \vec{v}_3}\)

Jak widać \(\displaystyle{ \lambda _3=0}\) nigdzie się tutaj nie pojawia.

[Benny01]

Tylko, że rozwiązując ten układ dostałem, że jest tylko jeden pierwiastek trzykrotny.